mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 17, 2009 3:50 pm**

Αν η συνάρτησηση $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ ικανοποεί τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x)

και είναι συνεχής στο 1,τότε να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 17, 2009 5:46 pm**

Καλησπέρα

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 02, 2016 7:37 pm**

Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση f(x+y)=xf(y)+yf(x)

.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 06, 2016 1:15 pm**

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση .

Θανάση καλημέρα.
Θέλουμε την

χωρίς να γνωρίζουμε τη συνέχεια στο x_o=1

;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 06, 2016 1:44 pm**

socrates έγραψε:Ας βρεθούν οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\to \marhbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση .

Καλησπέρα σε όλους! Μία απόπειρα.
Για x=y

παίρνουμε

Οπότε αν θέσουμε όπου

το

παίρνουμε

. (1)

Αν θέσουμε όμως στην αρχική όπου

το

παίρνουμε:

f(x+2y)=(x+y)f(y)+yf(x+y)=(x+y)f(y)+y(xf(y)+yf(x))=(x+y+xy)f(y)+y^2f(x)

(2)

Επειδή (1)=(2), θα έχουμε ότι

(2y-y^2)f(x)=(x+y-xy)f(y)

.

Για

στην τελευταία βρίσκουμε f(x)=f(1)

, και με αντικατάσταση η μόνη συνάρτηση που ικανοποιεί είναι η f(x)=0

για κάθε $x\in (0,+\infty)$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 06, 2016 3:25 pm**

Σιλουανέ σε ευχαριστώ .!

Συνεχής στο ..1..