mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2015 1:24 am**

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{1}$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{2}$
με $\Delta _{1}\bigcap{\Delta 2}=\varnothing$ και $f(\Delta _{1})\bigcap{f(\Delta _{2})}=\varnothing$ ,
τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta _{1}\bigcup{\Delta 2}$ $\rightarrow$ Σ Λ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 06, 2015 1:32 am**

Λάθος. Αντιπαράδειγμα η $\displaystyle{-\frac{1}{x}, ~x\in (-\infty,0)\cup (0,+\infty).}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2015 12:49 am**

Σωστό. Παράδειγμα η συνάρτηση $f: \ \ f(x)=x, \ \ x\in \mathbb{R}^*$ και $\Delta_1=(-\infty,0), \ \ \Delta_2=(0,+\infty)$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2015 12:54 am**

Η πρόταση είναι λάθος αρκεί να δούμε το παράδειγμα του Θάνου. Το παράδειγμα που δίνεις είναι ειδική περίπτωση που αληθεύει η πρόταση ωστόσο δεν αληθεύει πάντα και αυτό είναι το ζητούμενο .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2015 8:55 am**

Οι προτάσεις στα μαθηματικά πρέπει να διατυπώνονται με ακρίβεια και να μπορούν να χαρακτηριστούν μόνο Αληθείς ή μόνο Ψευδείς.
Από ποιο τμήμα της

APOSTOLAKIS έγραψε:Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{1}$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{2}$
με $\Delta _{1}\bigcap{\Delta 2}=\varnothing$ και $f(\Delta _{1})\bigcap{f(\Delta _{2})}=\varnothing$ ,
τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta _{1}\bigcup{\Delta 2}$ $\rightarrow$ Σ Λ

προκύπτει το "πάντα";

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2015 9:32 am**

Αντιγράφω από παλαιότερή μου ανάρτηση:

Demetres έγραψε: Πάμε λοιπόν και στο θέμα της μαθηματικής ορθότητας που είναι και το πιο σημαντικό. Κατ' αρχήν δεν μπορώ να βρω άδικο σε όσους λένε ότι έτσι όπως γράφονται είναι λανθασμένα αφού όντως είναι λανθασμένα. Αλλά υπάρχει ένα «αλλά». Αυτός ο τρόπος γραφής δεν εμφανίζεται μόνο στην Ελλάδα αλλά και σε πολλά μαθηματικά βιβλία στο εξωτερικό. Έχει παραθέσει αρκετά αποσπάσματα από τέτοια βιβλία ο Νίκος Μαυρογιάννης σε παλαιότερη συζήτηση. Τίθεται βέβαια το ερώτημα αν νομιμοποιούμαστε να το γράφουμε έτσι επειδή κάποιοι στα βιβλία τους αποφάσιζαν να τα γράφουν έτσι.

Ισχυρίζομαι ότι στον τρόπο που συνηθίσαμε να γράφουμε μαθηματικά έχουμε κάνει κάποιες συμβάσεις και κάποια πράγματα που δεν γράφονται συνήθως υπονοούνται. Τα πιο κλασικά τέτοια παραδείγματα είναι όταν ορίζουμε μια μαθηματική έννοια και όταν γράφουμε ένα θεώρημα. Π.χ. λέμε

«Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής αν ...»

Αυτό είναι λανθασμένο. Το σωστό είναι να λέμε ότι

«Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής αν και μόνο αν...»

Έτσι όμως έχουμε συνηθίσει να γράφουμε. Όταν ορίζουμε μια μαθηματική έννοια το «μόνο αν» που συνήθως παραλείπουμε υπονοείται. Έτσι και στα θεωρήματα. Συνηθίζουμε να γράφουμε

«Αν συνεχής συνάρτηση τότε ...»

ενώ το σωστό θα ήταν να γράφουμε

«Για κάθε συνεχή συνάρτηση ...»

Αντιγράφω από το δοκίμιο του Paul Halmos στο βιβλίο "How to write mathematics". Για όσους δεν γνωρίζουν ο Halmos έχει κερδίσει το βραβείο Steele της μαθηματικής εταιρείας της Αμερικής για «...τα πολλά μεταπτυχιακά βιβλία του στα μαθηματικά και για τα άρθρα του για το πως να γράφουμε, ομιλούμε και δημοσιεύουμε μαθηματικά.» Ας τον ακούσουμε λοιπόν.

<...> avoid the use of irrelevant symbols. Example: "On a compact-space every real-valued continuous function is bounded." What does the symbol "" contribute to the clarity of that statement? <...> What I am referring to here is what logicians would express by saying "leave no variable free". The best way to eliminate that particular "" is to omit it; an occasionally preferable alternative is to convert it from free to bound. Most mathematicians would do that by saying "If is a real-valued continuous function on a compact space then is bounded." Some logicians would insist on pointing out that "" is still free in the new sentence (twice) and technically they would be right. To make it bound it would be necessary to insert "for all " at some grammatically appropriate point, but the customary way mathematicians handle the problem is to refer (tacitly) to the (tacit) convention that every sentence is preceded by all the universal quantifiers that are needed to convert all its variables into bound ones.
Προσθέτω μια δική μου μετάφραση.

<...> αποφεύγετε την χρήση άσχετων συμβόλων. Παράδειγμα: "Σε ένα συμπαγή χώρο κάθε πραγματική συνεχής συνάρτηση είναι φραγμένη." Τι συνεισφέρει το σύμβολο "" στη σαφήνεια της εν λόγω πρότασης; <...> Εδώ αναφέρομαι σε αυτό που μερικοί λογικολόγοι θα εξέφραζαν λέγοντας «μην αφήνετε καμία μεταβλητή ελεύθερη». Ο καλύτερος τρόπος για να εξαλειφθεί το συγκεκριμένο «» είναι να το αποφεύγουμε. Μερικές φορές, μια προτιμότερη εναλλακτική λύση είναι να το μετατρέψουμε από ελεύθερο σε δεσμευμένο. Οι περισσότεροι μαθηματικοί θα το έκαναν αυτό λέγοντας «Αν η είναι μια πραγματική συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγή χώρο, τότε η είναι φραγμένη.» Μερικοί λογικολόγοι θα επιμένουν να υποδεικνύουν ότι η «f» εξακολουθεί να είναι ελεύθερη στη νέα πρόταση (δύο φορές) και τεχνικά θα έχουν δίκιο. Για να γίνει δεσμευμένη θα ήταν απαραίτητο να προστεθεί «για κάθε » σε κάποιο γραμματικώς κατάλληλο σημείο, αλλά ο συνήθης τρόπος που μαθηματικοί χειρίζονται το πρόβλημα είναι να αναφέρονται (σιωπηρά) στην (σιωπηρή) σύμβαση ότι πριν από κάθε πρόταση, προηγούνται όλοι οι καθολικοί ποσοδείκτες που απαιτούνται για να μετατρέψουν όλες τις μεταβλητές της σε δεσμευμένες.
Θεωρώ λοιπόν ότι αν και (πολύ) αυστηρά ομιλούντες τα θέματα Σωστό-Λάθος όπως συνηθίζεται να αναγράφονται είναι λανθασμένα, κατά την ισχύουσα σύμβαση μαθηματικής γραφής δεν πρέπει να τίθεται θέμα (μη) ορθότητάς τους.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 07, 2015 1:36 pm**

abgd έγραψε:Οι προτάσεις στα μαθηματικά πρέπει να διατυπώνονται με ακρίβεια και να μπορούν να χαρακτηριστούν μόνο Αληθείς ή μόνο Ψευδείς.
Από ποιο τμήμα της
APOSTOLAKIS έγραψε:Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{1}$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\Delta _{2}$
με $\Delta _{1}\bigcap{\Delta 2}=\varnothing$ και $f(\Delta _{1})\bigcap{f(\Delta _{2})}=\varnothing$ ,
τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta _{1}\bigcup{\Delta 2}$ $\rightarrow$ Σ Λ
προκύπτει το "πάντα";

Το εξηγεί το εισαγωγικό κεφάλαιο της Άλγεβρας Α' (όχι πολύ πετυχημένα θεωρώ, απο μαθητική σκοπιά)

"Έτσι, η συνεπαγωγή « P ⇒ Q » είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση."

Αυτό σημαίνει ότι:
$\begin{array} {ccc} P & Q & \Rightarrow \\ T & F & F \\ T & T & T \\ F & T & T \\ F & F & T \end{array}$

με το αντιπαράδειγμα, έχουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα. Επομένως ο ισχυρισμός $\Rightarrow$ δεν ισχύει.
Εκεί μέσα υπάρχει το "πάντα". Ή αλλιώς σε κάθε περίπτωση.

παράδειγμα στην συνεπαγωγή:
$a=b \Rightarrow a^2=b^2$ δεν χρειάζεται να γραφτεί για κάθε α,β.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 08, 2015 2:07 am**

Α.Αποστόλου έγραψε:με το αντιπαράδειγμα, έχουμε την πρώτη γραμμή του πίνακα. Επομένως ο ισχυρισμός δεν ισχύει.
Εκεί μέσα υπάρχει το "πάντα". Ή αλλιώς σε κάθε περίπτωση.

Όχι!

Το "πάντα", που εννοούμε στην πρόταση, προκύπτει μόνο από την "(σιωπηρή) σύμβαση" που αναφέρει ο Demetres στην πολύ κατατοπιστική του ανάρτηση.
Γιατί όμως να μην το γράφουμε καθαρά όταν κάνουμε μια τέτοια ερώτηση στους μαθητές μας; Ή, ας τους εξηγήσουμε τουλάχιστον ότι όταν δεν αναφέρεται θα το εννοούμε.