mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm**

Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 01, 2023 9:36 pm**

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

Εστω $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
Η σχέση
$\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0$
γράφεται
$\displaystyle f(1)f(c)<0$

Αρα από θεωρία τριωνύμου $\displaystyle {b^2} > 4ac$

Απορία.
Τι σχέση έχει με τον φάκελο ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 01, 2023 10:13 pm**

Γνωρίζουμε αν $\displaystyle a \ne 0;$ (ας πούμε ότι ο τίτλος είναι παραπλανητικός )
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle c \ne 1$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 01, 2023 11:09 pm**

Λίγο διαφορετικά:

$ac< -bc-c^2\Rightarrow 4ac< -4bc-4c^2$ ,

κι επειδή $b^2\geq -4bc-4c^2$ (διότι ισοδυναμεί με $(b+2c)^2\geq 0$ ),

είναι b^2> 4ac

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 01, 2023 11:38 pm**

Αλλιώς:

Θεωρώ τριώνυμο f(x)=x^2+bx+ca

, με διακρίνουσα D=b^2-4ac

.

Έστω $D\leq 0$ . Τότε $f(x)\geq 0,$ για κάθε

.

Όμως, f(c)<0

, άτοπο.

Άρα, b^2>4ac

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 02, 2023 10:02 am**

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 10:13 pm
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle a \ne 0;$ (ας πούμε ότι ο τίτλος είναι παραπλανητικός )
Γνωρίζουμε αν $\displaystyle c \ne 1$ ;

Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τίποτα.

Αν $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$
και
$f(\kappa )f(\lambda )<0$

τότε $\displaystyle {b^2} > 4ac$

Επαναλαμβάνω το ερώτημα.
Τι σχέση έχει με τον φάκελλο ;
Δηλαδή ποια είναι η λύση που χρησιμοποιεί στοιχεία του φακέλλου.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 03, 2023 12:59 pm**

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση f(x)=x^2+ bx +c

.
Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί k<c<l

ώστε

,

και

.
Επομένως εφαρμόζοντας δύο φορές Θεώρημα Bolzano στην

στα διαστήματα [k,c]

και

προκύπτει ότι το τριώνυμο f(x)

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Άρα η διακρίνουσα του D=b^2-4ac>0

και έτσι προκύπτει το ζητούμενο.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη είναι μια πολύ καλή, χρήσιμη και "παιδαγωγική", εντός φακέλου, άσκηση. Ευχαριστούμε πολύ Γιώργη
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 03, 2023 4:25 pm**

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 03, 2023 12:59 pm

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 9:09 pm
Αν $\displaystyle a,b,c \in \Re$ , δείξετε ότι $\displaystyle ac + bc + {c^2} < 0 \Rightarrow {b^2} > 4ac$
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια.
Θεωρώ την συνάρτηση .
Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ .
Συνεπώς υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί ώστε , και .
Επομένως εφαρμόζοντας δύο φορές Θεώρημα Bolzano στην στα διαστήματα και
προκύπτει ότι το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
Άρα η διακρίνουσα του και έτσι προκύπτει το ζητούμενο.
Κατά την ταπεινή μου γνώμη είναι μια πολύ καλή, χρήσιμη και "παιδαγωγική", εντός φακέλου, άσκηση. Ευχαριστούμε πολύ Γιώργη
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Υπάρχει τυπογραφικό. Είναι f(x)=x^2+bx+ca

.

Στην ουσία.

Ο καθένας κρίνει κατά το δοκούν αν η παραπάνω λύση ή η παρακάτω είναι παιδαγωγικά καλή.

ksofsa έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 01, 2023 11:38 pm
Αλλιώς:

Θεωρώ τριώνυμο , με διακρίνουσα .

Έστω $D\leq 0$ . Τότε $f(x)\geq 0,$ για κάθε .

Όμως, , άτοπο.

Άρα, .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 04, 2023 12:30 am**

Γράφω μια λύση χάριν ποικιλίας.
Είναι προφανώς $c \neq 0$ . Διαιρώντας την σχέση της υπόθεσης και του συμεράσματος με c^2

έχουμε ότι $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1<0$ και θέλουμε $\left( \frac{b}{c}\right) ^{2}>4\frac{a}{c}$ . Αν θέσουμε $x=\frac{b}{c}$ και $y=\frac{a}{c}$ θέλουμε να δείξουμε ότι:

Αν x+y+1<0