προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

#1

Με αφορμή την παρατήρηση του Χρήστου Καρδάση:

ΑΣΚΗΣΗ: Να βρεθεί για ποιούς πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ , για κάθε $x\in{\mathbb{R}}$ , ισχύει $\alpha^{x}>x$ .

[ αν και δεν θα παραξενευόμουν αν έχει ήδη απαντηθεί στο mathematica ]

#2

Για όλους τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του $e^{1/e}$ .

Αν $\alpha < 1$ τότε προφανώς η συνθήκη δεν ισχύει. Αν $1 \leqslant \alpha \leqslant e^{1/e}$ , τότε $\alpha^e \leqslant (e^{1/e})^e = e$ και άρα πάλι η συνθήκη δεν ισχύει.

Τέλος, αν $\alpha > e^{1/e}$ τότε ισχυρίζομαι ότι a^x > x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Ο ισχυρισμός προφανώς ισχύει για κάθε $x \leqslant 0$ . Αν x > 0

τότε $a^x > e^{x/e}$ και άρα αρκεί να δείξουμε ότι $e^{x/e} \geqslant x$ . (*) Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι $x \geqslant e \ln{x}$ για κάθε x > 0

. Το τελευταίο είναι απλό αφού με μία παραγώγιση βλέπουμε ότι η συνάρτηση $f(x) = x - e\ln{x}$ έχει ελάχιστο στο x=e

και

.

(*) Αυτό σίγουρα το έχουμε ξαναδεί. Είναι μια κλασική άσκηση να εξεταστεί πιο από τα $e^{\pi},\pi^e$ είναι το μεγαλύτερο.

Επεξεργασία: Πρόσθεσα μια επεξήγηση αφού (όπως παρατήρησε ο onedeadslime πιο κάτω) η αρχική μου απόδειξη δεν δούλευε για μη θετικά

.

KARKAR · #3

Στο τεύχος 11 του "Ευκλείδη Β" (1ο τρίμηνο 1994) , υπάρχει δημοσιευμένη μελέτη του Μπάμπη Τουμάση σχετική με το θέμα .

Εκεί λοιπόν , αποδεικνύει ο εκλεκτός συνάδελφος ότι η συνάρτηση $f(x)=a^{x}-x$ , παύει να έχει ρίζες ,

όταν $\displaystyle a>e^{\frac{1}{e}$ . Η μελέτη περιέχει και άλλα θαυμάσια συμπεράσματα , και αξίζει να την αναζητήσει κανείς ...

onedeadslime · #4

Demetres έγραψε:
Τέλος, αν $\alpha > e^{1/e}$ τότε $a^x > e^{x/e}$ και άρα αρκεί να δείξουμε ότι $e^{x/e} \geqslant x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . (*) Αρκεί να δείξουμε ότι $x \geqslant e \ln{x}$ για κάθε . Το τελευταίο είναι απλό αφού με μία παραγώγιση βλέπουμε ότι η συνάρτηση $f(x) = x - e\ln{x}$ έχει ελάχιστο στο και .

Για χ<=0 όμως;

#5

onedeadslime έγραψε:
Demetres έγραψε:
Τέλος, αν $\alpha > e^{1/e}$ τότε $a^x > e^{x/e}$ και άρα αρκεί να δείξουμε ότι $e^{x/e} \geqslant x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . (*) Αρκεί να δείξουμε ότι $x \geqslant e \ln{x}$ για κάθε . Το τελευταίο είναι απλό αφού με μία παραγώγιση βλέπουμε ότι η συνάρτηση $f(x) = x - e\ln{x}$ έχει ελάχιστο στο και .
Για χ<=0 όμως;

Έχεις δίκιο. Σκεφτόμουν μόνο τα θετικά

αφού προφανώς η συνθήκη ισχύει αν

αρνητικό. Θα το διορθώσω. Ευχαριστώ για την παρατήρηση.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #6

KARKAR έγραψε:Στο τεύχος 11 του "Ευκλείδη Β" (1ο τρίμηνο 1994) , υπάρχει δημοσιευμένη μελέτη του Μπάμπη Τουμάση σχετική με το θέμα .

Εκεί λοιπόν , αποδεικνύει ο εκλεκτός συνάδελφος ότι η συνάρτηση $f(x)=a^{x}-x$ , παύει να έχει ρίζες ,

όταν $\displaystyle a>e^{\frac{1}{e}$ . Η μελέτη περιέχει και άλλα θαυμάσια συμπεράσματα , και αξίζει να την αναζητήσει κανείς ...

Έχω κάποια σε pdf θα τα ανεβάσω σπασμένα λόγω μεγέθους ...

download/file.php?id=2697

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Το επόμενο pdf

download/file.php?id=2697

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #8

άλλο ένα έμεινε

Το τέταρτο δεν μπορώ να το σπάσω

όποιος ενδιαφέρεται μου στέλνει p.m με email

download/file.php?id=2697

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #9

Υπαρχουν και εδω viewtopic.php?f=111&t=2718&p=14756&hili ... 83*#p14756

#10

...Καλησπέρα στη εκλεκτή παρέα... βλέποντας την άσκηση του Γρηγόρη που προέκυψε από την παρατήρηση του Χρήστου
και όλα τα καλούδια των συναδέλφων είπα να φτιάξω μιά λυκειακή προσεγγιση στο πολύ ενδιαφέρον θέμα....

Επειδή για $x\le 0$ η συνθήκη ισχύει βρίσκουμε τους $a\in R$ ώστε να ισχύει ${{a}^{x}}>x,\,\,\,\,x>0$ ή ισοδύναμα $x\ln a>\ln x\Leftrightarrow x\ln a-\ln x>0,\,\,\,x>0$

Έτσι θεωρώντας την $f(x)=x\ln a-\ln x,\,\,\,\,x>0$ που είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\ln a-\frac{1}{x}$ παρατηρούμε ότι έχει ${f}''(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}>0,\,\,\,x>0$ επομένως η {f}'

είναι γνήσια αύξουσα στο

$\Delta =(0,\,\,+\infty )$ επομένως ${f}'(\Delta )=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{f}'(x),\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x))$ ή ${f}'(\Delta )=(-\infty ,\,\,\,\ln a)$
Τώρα αν a<1

θα είναι τότε λόγω ${f}'(x)=\ln a-\frac{1}{x}<0,\,\,\,\,x>0$ η

γνήσια φθίνουσα στο $\Delta =(0,\,\,+\infty )$ άρα $f(\Delta )=(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )$ άρα δεν ισχύει η συνθήκη

Τώρα για a=1

όμοια όπως προηγούμενα

Και για a>1

επειδή ${f}'(x)=\ln a-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\ln a}$ και ${f}'(x)>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{\ln a}$ και ${f}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{\ln a}$ η

τότε θα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για $x=\frac{1}{\ln a}$ το

$f(\frac{1}{\ln a})=1+\ln (\ln a)$ και αφού θέλουμε $f(x)>0,\,\,\,x>0$ θα ισχύει για τις τιμές του

που $1+\ln (\ln a)>0\Leftrightarrow \ln (\ln a)>-1\Leftrightarrow \ln a>\frac{1}{e}$ και τελικά για $a>{{e}^{\frac{1}{e}}}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Re: προσδιορισμός βάσης εκθετικής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση