mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2009 5:50 pm**

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x)

, με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση $\mathbf{f(x\cdot y)=x\cdot f(y)+y\cdot f(x)}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2009 6:07 pm**

Για

παίρνουμε

.

Παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς

παίρνουμε

.

Για $x\neq 0$ παίρνουμε:

$\displaystyle\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\displaystyle\frac{f'(1)}{x}$ άρα

$\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'$

άρα αν x>0

παίρνουμε $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1$ ενώ αν x<0

παίρνουμε $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2.$

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

$f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$ άρα f(0)=c_1=c_2

. Λόγω της f(1)=1

παίρνουμε

και

.

Οπότε f(x)=f'(1)xln|x|

για κάθε $x\in\mathbb{R}^{\star}$ και f(0)=0

η οποία επαληθεύει την αρχική για οποιαδήποτε τιμή του $f^{\prime}(1)$ .

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2009 6:22 pm**

Ωραια και απλη λυση

καπως οχι σχολικα χρησιμοποιωντας μονο την συνεχεια

μπορουμε να δουμε οτι....
f(0)=0

για

θετουμε $g(u)=\frac{f(e^u)}{e^u}$
Ισχυει ομως τοτε,
g(x+y)=g(x)+g(y)

,για καθε x,y στο R.
Aρα, g(x)=cx

ή

ομοια για τα αρνητικα

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 10, 2009 7:28 pm**

Μου θύμισε μια άσκηση που λέει:
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x), με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση
f (x + y − xy) + xf (y) + yf (x) = f (x) + f (y)

Μην προσπαθήσετε να την λύσετε γιατί δεν θυμάμαι ακριβώς την λύση και την εκφώνηση!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 11, 2009 1:03 pm**

cretanman έγραψε:Για παίρνουμε .
Παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς παίρνουμε .
Για $x\neq 0$ παίρνουμε:
$\displaystyle\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\displaystyle\frac{f'(1)}{x}$ άρα
$\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'$
άρα αν παίρνουμε $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1$ ενώ αν παίρνουμε $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2.$

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει
$f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$ άρα . Λόγω της παίρνουμε και .

Οπότε για κάθε $x\in\mathbb{R}^{\star}$ και η οποία επαληθεύει την αρχική για οποιαδήποτε τιμή του $f^{\prime}(1)$ .
Αλέξανδρος

Αλέξανδρε καλημέρα
διαφωνώ λίγο σε κάποια σημεία της απάντησης
ας δούμε
$\boxed{f(xy)=xf(y)+yf(x),\,\,x,y\in\mathbb{R}}$ ,παραγωγίσιμη

βρίσκω f(1)=0,f(0)=0

παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς ψ παίρνουμε xf ' (xy)=xf '(y)+f(x)

αυτή με y=1 δίνει x f '(x)=xf '(1)+f(x)

συμφωνούμε

για $x\neq 0$ ...καταλήγουμε f(x)=xf '(1)ln|x|+cx

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

$f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$ ,ισχύει,δεν καταλαβαίνω πως βγάζεις τη σχέση για τα $c_{1},c_{2}$

για x=1

παίρνουμε

άρα

ενώ

για

η οποία επαληθεύει την αρχική

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 11, 2009 1:45 pm**

Φωτεινή έγραψε: Αλέξανδρε καλημέρα
διαφωνώ λίγο σε κάποια σημεία της απάντησης
ας δούμε
$\boxed{f(xy)=xf(y)+yf(x),\,\,x,y\in\mathbb{R}}$ ,παραγωγίσιμη

βρίσκω

παραγωγίζοντας τη δοσμένη ως προς ψ παίρνουμε

αυτή με y=1 δίνει συμφωνούμε

για $x\neq 0$ ...καταλήγουμε

Επειδή η συνάρτηση ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής άρα πρέπει

$f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)$ ,ισχύει,δεν καταλαβαίνω πως βγάζεις τη σχέση για τα $c_{1},c_{2}$

για παίρνουμε άρα

ενώ για

Φωτεινή έχεις δίκιο! Έκανα 2 λάθη κατά τη διάρκεια της λύσης μου από βιασύνη και ζητώ συγγνώμη!

Το πρώτο είναι ότι αν θέσουμε στην αρχική x=y=1

παίρνουμε

και όχι

που έγραψα.

Το δεύτερο είναι ότι μετα τη σχέση $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)lnx + c_1$ για x>0

και παίρνουμε $\displaystyle\frac{f(x)}{x}=f'(1)ln(-x) + c_2$ για x<0

, ξέχασα να πολλαπλασιάσω τις σταθερές επί x κι έτσι "πήρα" f(x)=f'(1)xlnx +c_1

για

και

για

. Oδηγήθηκα λοιπόν σε λάθος συμπέρασμα που όμως επαλήθευε την αρχική κι έτσι "είμουν σίγουρος" ότι όλα είναι ΟΚ.

Διορθώνω λοιπόν την παραπάνω:

Όπως έγραψες f(0)=f(1)=0

. Επίσης από την αρχική για x=y=-1

παίρνουμε

. Από τη σχέση $\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'$ δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για όλο το $\mathbb{R}-\{0\}$ διότι δεν είναι διάστημα κι έτσι f(x)=f'(1)xlnx +c_1x

για

και

για

. Από την

παίρνουμε

και από την f(-1)=0

παίρνουμε

. Άρα τελικά f(x)=f'(1)xln|x|

για κάθε $x\neq 0$ και f(0)=0

.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 11, 2009 2:23 pm**

cretanman έγραψε: Όπως έγραψες . Επίσης από την αρχική για παίρνουμε . Από τη σχέση $\left(\displaystyle\frac{f(x)}{x}\right)'=\left(f'(1)ln|x|\right)'$ δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για όλο το $\mathbb{R}-\{0\}$ διότι δεν είναι διάστημα κι έτσι για και για . Από την παίρνουμε και από την παίρνουμε . Άρα τελικά για κάθε $x\neq 0$ και .

Αλέξανδρος

πολύ ωραία
Αλέξανδρε ,σε ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 11, 2009 2:29 pm**

cretanman έγραψε:Άρα τελικά για κάθε $x\neq 0$ και .

Επιπλέον, επειδή η

είναι παραγωγίσιμη και στο

υπάρχει στο $\mathbb{R}$ το όριο
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f^{\prime}(1)x\ln|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}f^{\prime}(1)\ln|x|}$ οπότε $f^{\prime}(1)=0$ ...

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 17, 2012 12:57 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Μου θύμισε μια άσκηση που λέει:
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x), με πεδίο ορισμού το R οι οποίες επαληθεύουν την συναρτησιακή σχέση
f (x + y − xy) + xf (y) + yf (x) = f (x) + f (y)

Μην προσπαθήσετε να την λύσετε γιατί δεν θυμάμαι ακριβώς την λύση και την εκφώνηση!!

mathematica.gr

Eύρεση συνάρτησης.

Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.

Re: Eύρεση συνάρτησης.