mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 07, 2012 10:17 am**

Καλημέρα στη μαθηματική κοινότητα,

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ η οποία είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο $[a,\,\beta]$ και $\displaystyle{ f(a) = f(\beta ) = 0 }$ . Αν $\displaystyle{ \gamma \in \left( {a,\,\beta } \right) }$ να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \left( {a,\,\beta } \right) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f''(\xi ) = \frac{{2f(\gamma )}}{{(\gamma - a)(\gamma - \beta )}} }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 07, 2012 12:51 pm**

'Εστω η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$ . Ισχύει $\displaystyle{g^{\prime} (x) = \frac{f^{\prime}(x) (x-a) + f(a) - f(x)}{(x-a)^2} = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} ( \xi)}$ για κάποιο $\displaystyle{\xi \in (a, x)}$ από το θεώρημα Taylor.

'Ετσι, $\displaystyle{g(\gamma) - g(\beta) = g^{\prime} (\xi_1) (\gamma - \beta) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (\xi_2) (\gamma - \beta)}$ για κάποιο $\displaystyle{\xi_1 \in (\gamma, \beta)}$ και κάποιο $\displaystyle{\xi_2 \in (a, \xi_1)}$ . Η γενικευμένη σχέση $\displaystyle{g(\gamma) - g(\beta) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime} (\xi_2) (\gamma - \beta)}$ ανάγεται στη ζητούμενη με τον περιορισμό $\displaystyle{f(a) = f(\beta) = 0}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 07, 2012 1:14 pm**

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=f(\gamma)\cfrac{(x-a)(x-b)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και εφαρμόζουμε το Θ.ρολλε για την συνάρτηση f(x)-g(x)

και για την συνάρτηση

f{'}(x)-g{'}(x)

.Πράγματι

$g(a)=g(b)=0,g(\gamma)=f(\gamma), f(x)-g(x)=f(x)-(x-a)(x-b)\cfrac{f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και $f{'}(x)-g{'}(x)=f{'}(x)-(2x-a-b)\cfrac{f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)},f{'{'}}(x)-g{'}{'}(x)=f{'}{'}(x)-\cfrac{2f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και ακόμη $f(a)-g(a)=0,f(\gamma)-g(\gamma)=0$

αρα υπάρχουν $k\in (a,\gamma),l\in (\gamma,b) : f{'}(k)-g{'}(k)=0, f{'}(l)-g{'}(l)=0$ αρα με Θ.ΡΟΛΛΕ στο [k,l]

για την

υπάρχει

$\xi \in [k,l]: f{'}{'}(\xi)-\cfrac{2f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}=0......$

φιλικά dennys

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 07, 2012 1:45 pm**

Αναφέρω και τη βιβλιογραφική πηγή της ομορφούλας...(άσκησης)
Χ.Στεργίου, Νάκης Μαθηματικά Κατευθύνσης Γ Λυκείου Τεύχος 2 Εκδόσεις Σαββάλας

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 10:02 am**

Επαναφέρω την άσκηση, κυρίως για διδακτικούς λόγους...

dennys έγραψε:Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=f(\gamma)\cfrac{(x-a)(x-b)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και εφαρμόζουμε το Θ.ρολλε για την συνάρτηση και για την συνάρτηση

....

Πραγματικά συγχαρητήρια

για την εντυπωσιακή συνάρτηση φίλε Διονύση

Όμως, επειδή χτες έπεσε στα χέρια μου η εν λόγω άσκηση - από άλλη πηγή εκτός

και ασχολήθηκα, έχω να πω ότι ο εξαίρετος συνάδελφος Μπάμπης έχει και αυτός μία συνάρτηση στις λύσεις, η οποία λύνει το πρόβλημα... Η απορία όμως των μαθητών δε νομίζω ότι λύνεται αν τους δώσουμε "στεγνά" (συγγνώμη αν η έκφραση δεν είναι συμβατή με τους όρους της δημόσιας συζήτησης) μία συνάρτηση και να τους πούμε εφαρμόζουμε Rolle σε αυτήν ή στην άλλη κοκ...

Σε ένα παλαιό μου βιβλίο βρήκα μία που λέει :

'Εστω

συνεχής στο διάστημα [a,b]

. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε : $\displaystyle{f(\xi)= \frac{a+b-2 \xi}{(\xi-a)(\xi-b)}}$

Ο αθεόφοβος λύτης αντί να εφαρμόσει Bolzano για την g(x)=f(x)(x-a)(x-b)+2x-a-b

και να τελειώνει σε μία σειρά, θεωρεί

την "προφανή"

συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=e^{ \int_{a}^{x}{f(t)dt}}(x-a)(x-b)}$ και εφαρμόζει το φανερό πια Rolle στο διάστημα [a,b]

...

Τέτοιες λύσεις νομίζω ότι απομακρύνουν τους μαθητές από τα Μαθηματικά, κάνοντάς τους να πιστέψουν ότι "...δεν είναι για εκείνους"... Προσωπικά θεωρώ ΧΡΕΟΣ ΜΟΥ ως δασκάλου, να εξηγήσω στο μέτρο του δυνατού στους μαθητές μου ΠΩΣ προέκυψε αυτή η "τερατώδης συνάρτηση"... Το λέω γιατί αυτή τη συνάρτηση

την βρήκα και εξήγησα πως επινοήθηκε η

... Θα το καταθέσω στο forum σε πρώτη ευκαιρία...

Επιστρέφοντας στο θέμα μας ( Απαιτητικό Rolle 1 ) θα παρακαλούσα θερμά το φίλο Διονύση να καταθέσει στο forum τη σκέψη του... Ίσως αυτό να είναι πέρα ακόμη και από τη λύση αυτό που έχουμε να δώσουμε πραγματικά στους μαθητές μας... Προσωπικά, ασχολήθηκα με την άσκηση τη Δευτέρα το βράδυ και βρήκα τι πρέπει να εφαρμόσω που... Θα το καταθέσω και αυτό στο forum... με πρώτη ευκαιρία πάλι... Προς το παρόν περιμένω τη σκέψη του Διονύση και τα σχόλια της εκλεκτής πραγματικά - και όχι κατ' ευφημισμόν παρέας του

- πάνω στους προβληματισμούς μου στη Διδακτική γενικότερα και τη θεώρηση αυτών των συναρτήσεων που εγώ ονομάζω "ακραίες" συναρτήσεις...

Φιλικά

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 11:12 am**

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε: Ο αθεόφοβος λύτης αντί να εφαρμόσει Bolzano για την και να τελειώνει σε μία σειρά, θεωρεί την "προφανή" συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=e^{ \int_{a}^{x}{f(t)dt}}(x-a)(x-b)}$ και εφαρμόζει το φανερό πια Rolle στο διάστημα ...

Θωμά γεια σου, συμμετέχω στο θέμα πιο πολύ γιατί χάρηκα που είδα μήνυμά σου παρά το σχόλιο που θα κάνω...

Θα δώσω μια εξήγηση στην λογική του "αθεόφοβου" λύτη, που πιθανόν να ήμουν και εγώ (δηλαδή αν ήθελα από τον μαθητή να βρει την αρχική συνάρτηση που θα εφαρμόσει το Θ. Rolle) και θεωρώ ότι όλες οι λύσεις κάτι έχουν να προσφέρουν, αρκεί να το αντιληφθούμε, εκεί βρίσκεται το κλειδί και νομίζω πολύ εύστοχα Θωμά το αναζητάς.

Η ζητούμενη εξίσωση γίνεται διαδοχικά....

$f(x)=\frac{a+b-2x}{(x-a)(x-b)}\Leftrightarrow (x-a)(x-b)f(x)=a+b-2x$

$\Leftrightarrow (x-a)(x-b)f(x)+(x-a)+(x-b)=0$

$\Leftrightarrow (x-a)(x-b)f(x)+(x-a)(x-b)'+(x-a)'(x-b)=0$

$\Leftrightarrow (x-a)(x-b)f(x)e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}}+(x-a)(x-b)'e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}}+(x-a)'(x-b)e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}}=0$

$\Leftrightarrow (x-a)(x-b)(e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}})'+(x-a)(x-b)'e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}}+(x-a)'(x-b)e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}}=0$

$\Leftrightarrow ((x-a)(x-b)e^{\int_{a}^{x}{f(t)dt}})'=0$

Τώρα Θωμά αν η ένστασή σου είναι γιατί δεν εμφανίζει ο λύτης αυτή την σκέψη μπορεί να είναι για διάφορους (προφανείς) λόγους... πάντως ο μαθητής πρέπει να αναζητήσει την λογική της έμπνευσης και αν δεν τα καταφέρει να ρωτήσει τον διδάσκοντα.

Καλημέρα και χαιρετίσματα στην όμορφη πόλη σου!!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 11:32 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Καλημέρα στη μαθηματική κοινότητα,

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:[a,\beta ] \to R }$ η οποία είναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] και $\displaystyle{ f(a) = f(\beta ) = 0 }$ . Αν $\displaystyle{ \gamma \in \left( {a,\,\beta } \right) }$ να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in \left( {a,\,\beta } \right) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f''(\xi ) = \frac{{2f(\gamma )}}{{(\gamma - a)(\gamma - \beta )}} }$

μετά το μήνυμα του Θωμά γράφω τις '' ανάποδες '' σκέψεις μου για την άσκηση
----------
θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f''(x)(c-a)(c-b)-2f(c)=0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα $\xi\in (a,b)$

αυτή ισοδύναμα γράφεται f''(x)(c-a)(c-b)-f(c)(x-a)'-f(c)(x-b)'=0

δηλαδή $\Big(f'(x)(c-a)(c-b)-f(c)(x-a)-f(c)(x-b)\Big)'=0$

άρα θέλουμε ένα Rolle για την

σε κάποιο κατάλληλο διάστημα

η τελευταία γράφεται

f'(x)(c-a)(c-b)-f(c)(x-a)(x-b)'-f(c)(x-a)'(x-b)=

$\Big(f(x)(c-a)(c-b)-f(c)(x-a)(x-b)\Big)'$
--------------------
θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)(c-a)(c-b)-f(c)(x-a)(x-b),\quad x\in [a,b]$ , συνεχής,παρ/μη κλπ...

και h(a)=h(c)=h(b)=0

κάνοντας Rolle στα $[a,c],\quad [c,b]$ βρίσκουμε $\xi_1\in (a,c),~~ \xi_2\in (c,b) ~: ~ h'(\xi_1)=h'(\xi_2)=0$

κι ένα ακόμα Rolle για την

στο $[\xi_1,\xi_2]$ δίνει το ζητούμενο

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 11:41 am**

Λοιπόν Θωμά

ζητάμε $f{'}{'}(\xi)=k$ οπου έβαλα $k=\cfrac{f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και ισοδύναμα (f{'}(x)-kx){'}=0

ή

και τελικά

$f{'}(x)-k/2(2x-a-b)){'}=0\Rightarrow (f{'}(x)-k/2(x-a){'}(x-b)-k/2(x-a)(x-b){'}){'}=0$

και έθεσα g(x)

...Συγγνώμη αν λόγω βιασύνης έκανα καν΄λενα λάθος ,την σκέψη μου δίνω .

Tώρα το απαιτητικό Ρολλε μπήκε γιάυτό.λλωστε δεν είναι ολες οι ασκήσεις για τα παιδιά .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 11:58 am**

dennys έγραψε:Λοιπόν Θωμά

ζητάμε $f{'}{'}(\xi)=k$ οπου έβαλα $k=\cfrac{f(\gamma)}{(\gamma-a)(\gamma-b)}$

και ισοδύναμα ή και τελικά

$f{'}(x)-k/2(2x-a-b)){'}=0\Rightarrow (f{'}(x)-k/2(x-a){'}(x-b)-k/2(x-a)(x-b){'}){'}=0$

και έθεσα ...Συγγνώμη αν λόγω βιασύνης έκανα καν΄λενα λάθος ,την σκέψη μου δίνω .

Tώρα το απαιτητικό Ρολλε μπήκε γιάυτό.λλωστε δεν είναι ολες οι ασκήσεις για τα παιδιά .

Ολοκληρώνω την σκέψη του Διονύση (μιας και την έχω γράψει)...

$f{'}(x)-k/2(2x-a-b)){'}=0\Rightarrow$

$\Rightarrow (f{'}(x)-k/2(x-a){'}(x-b)-k/2(x-a)(x-b){'}){'}=0$

$\Rightarrow (f(x)-\frac{k(x-a)(x-b)}{2})'=0$

$\Rightarrow (f(x)-\frac{f(\gamma)(x-a)(x-b)}{2(\gamma -a)(\gamma -b)})'=0$

Το

στον παρονομαστή με προβληματίζει (πολύ κούραση το Equation) αφού στην συνάρτηση

που θέσει ο Διονύσης δεν υπάρχει το

...

Το βρήκα κάνοντας μια ανασκόπηση τι έχουμε γράψει!! Απλά εγώ είχα θέσει το $2k=\frac{f(\gamma )}{(\gamma -a)(\gamma -b)}$

Διονύση το λάθος βρίσκετε στο πρώτο βήμα...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 12:13 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Θα δώσω μια εξήγηση στην λογική του "αθεόφοβου" λύτη, που πιθανόν να ήμουν και εγώ (δηλαδή αν ήθελα από τον μαθητή να βρει την αρχική συνάρτηση που θα εφαρμόσει το Θ. Rolle) και θεωρώ ότι όλες οι λύσεις κάτι έχουν να προσφέρουν, αρκεί να το αντιληφθούμε, εκεί βρίσκεται το κλειδί και νομίζω πολύ εύστοχα Θωμά το αναζητάς.

Μάκη καλημέρα και χαίρομαι που τα ξαναλέμε...

Έχω περίπου την ίδια λύση :

Ζητώ ρίζα της εξίσωσης : $\displaystyle{ f\left( x \right) = \frac{{a + b - 2x}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} }$
ή ισοδύναμα
$\displaystyle{ f\left( x \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {2x - \left( {a + b} \right)} \right) = 0 }$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{ f\left( x \right)\left[ {x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab} \right] + \left[ {x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab} \right]^\prime = 0 }$

και ονομάζοντας $\displaystyle{k\left( x \right) = x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab}$ , έχω εύκολα πιά :

$\displaystyle{ k'\left( x \right) + f\left( x \right)k\left( x \right) = 0 }$

οπότε τη βλέπω σαν γραμμική διαφορική 1ης τάξης (ομογενή) και πολλαπλασιάζω με τον ολοκληρωτικό παράγοντα

$\displaystyle{ e^{\int_a^x {f\left( t \right)dt} } }$

για να οδηγηθώ τελικά στο ότι ζητώ ρίζα της παραγώγου της συνάρτησης $\displaystyle{ \Phi \left( x \right) = e^{\int_a^x {f\left( t \right)dt} } k\left( x \right)... }$
οπότε αρκεί ένα Rolle στην $\Phi$ ...

Μάκη εγώ "την είδα" έτσι, όταν μου ζητήθηκε να πω πως βρήκα τη συνάρτηση...

Την καλημέρα μου σε όλη την παρέα και ευχαριστώ πολύ

Θα επανέλθω για το απαιτητικό Rolle 1 για να καταθέσω τις σκέψεις μου

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 12:24 pm**

Χαίρομαι ιδιαίτερα γιά τις όμορφες λύσεις άξιων συναδέλφων.
Προσωπικά μου άρεσε ιδιαίτερα η λύση του Διονύση (denys), επειδή είχε μία έμπνευση πέραν των "συνήθων". Θεωρώ ότι η ομορφιά των Μαθηματικών βρίσκεται και στο πεδίο των εμπνεύσεων και από διδακτική άποψη. Οι καλοί Μαθητές Ναί βάζουν σαν στόχους τέτοιες λύσεις και αυτό κατά την άποψη μου είναι στην φύση των Μαθηματικών. Γιατί δηλαδή το έξυπνο να φοβίζει; Προσωπικά σε ένα σύνολο λύσεων θα ήθελα να υπάρχουν και τεχνασματικές λύσεις, αφού και οι Άριστοι μαθητές είναι και αυτοί μαθητές και δεν θα πρέπει να τους παρακάμπτουμε.
Φίλε Μάκη σε κάθε πρόβλημα άν υπάρχει μία λύση ενίοτε υπάρχει τουλάχιστον άλλη μία. Πολλές οι πόρτες τόσο ποσοτικά όσο και ποιοτικά, άρα πολλά και τα αντίστοιχα κλειδιά που τις ανοίγουν.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 12:31 pm**

Ας θυμηθούμε και το θέμα που είχε δώσει ο Νίκος στον σύνδεσμο viewtopic.php?f=56&t=27422

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 12:56 pm**

Φωτεινή, Διονύση και Μάκη ευχαριστώ πολύ για την ασχολία σας.

Οι δικές μου σκέψεις πάνω στο θέμα είναι οι ακόλουθες :

Ζητώ ρίζα της εξίσωσης : $\displaystyle{ f''\left( x \right) = \frac{{2f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$
ή ισοδύναμα της $\displaystyle{ f''\left( x \right) - \frac{{2f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 0 }$
ή της $\displaystyle{ f''\left( x \right) - 2k = 0 }$
όπου $\displaystyle{ k = \frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$ ή ισοδύναμα της $\displaystyle{ \left[ {f'\left( x \right) - \left( {2x + c_1 } \right)k} \right]^\prime = 0 }$
οπότε ζητώ δύο ίσες τιμές της $\displaystyle{ {h\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {2x + c_1 } \right)k} }$
ώστε να εφαρμόσω Rolle. Η τελευταία ισοδύναμα γίνεται : $\displaystyle{ \left[ {f\left( x \right) - \left( {x^2 + c_1 x + c_2 } \right)k} \right]^{\prime \prime } = 0 }$
και αν θέσω $\displaystyle{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {x^2 + c_1 x + c_2 } \right)k }$ , τότε ζητώ τρεις ίσες τιμές της ώστε να εφαρμόσω δύο Rolle και μετά ένα ακόμη Rolle στην παράγωγό της που είναι η

.

Με τις σκέψεις αυτές προσπαθώ να "ταιριάξω" τα c_1,c_2

ώστε να έχω ίσες τιμές για την $\phi$ στα a,b,c

. Έτσι :

$\displaystyle{ \phi \left( a \right) = f\left( a \right) - \left( {a^2 + c_1 a + c_2 } \right)k = - \left( {a^2 + c_1 a + c_2 } \right)k }$
$\displaystyle{ \phi \left( b \right) = f\left( b \right) - \left( {b^2 + c_1 b + c_2 } \right)k = - \left( {b^2 + c_1 b + c_2 } \right)k }$
και
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = f\left( c \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)k }$
Τώρα είναι η σκέψη :

Το f(c)

με ενοχλεί απείρως, οπότε :
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = f\left( c \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)\frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$
ή
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = \frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\left[ {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)} \right] }$ ή $\displaystyle{ \phi \left( c \right) = k\left[ {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)} \right] }$
Κάνοντας τις πράξεις στην αγκύλη βρήκα :
$\displaystyle{ - c\left( {a + b + c_1 } \right) + \left( {ab - c_2 } \right) }$
και το "είδα" σαν οικογένεια ευθειών

με παράμετρο το

. Απαίτησα λοιπόν να μηδενίζονται ταυτόχρονα οι δύο παρενθέσεις, ελπίζοντας...

Έτσι βρήκα $\displaystyle{ c_1 = - \left( {a + b} \right)\,\kappa \alpha \iota \,c_2 = ab }$
Τώρα αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην $\phi$ βρίσκω φανερά ότι $\displaystyle{\phi \left( c \right) = 0}$ . Οκ. Αλλά με τις άλλες δύο τιμές τι γίνεται ;

Όμως τώρα $\displaystyle{ \phi \left( a \right) = - \left( {a^2 - \left( {a + b} \right)a + ab} \right)k = 0 }$ (πολύ όμορφα ως εδώ!)
και
$\displaystyle{ \phi \left( b \right) = - \left( {b^2 - \left( {a + b} \right)b + ab} \right)k = 0 }$
Άρα η συνάρτηση $\phi$ ικανοποιεί δις το Θεώρημα Rolle σε κάθε ένα των διαστημάτων [a,c]

και

, οπότε υπάρχουν $x_1 \in (a,c),x_2\in (c,b)$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ \phi '\left( {x_1 } \right) = h\left( {x_1 } \right) = 0 }$
και $\displaystyle{ \phi '\left( {x_2 } \right) = h\left( {x_2 } \right) = 0 }$
και μετά ένα Rolle στην

τελειώνει την άσκηση...

Η συνάρτηση λοιπόν που λύνει το πρόβλημα είναι η :

$\displaystyle{\boxed{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab} \right)\frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }}$

ή η

$\displaystyle{\boxed{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right)\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)f\left( c \right) }}$

Ελπίζοντας ότι δεν έχω λάθος στην πληκτρολόγηση, σας καλημερίζω ξανά όλους

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 1:03 pm**

Αγαπητοί και εξαιρετικοί συνάδελφοι, σας ευχαριστώ για ακόμη φορά για την ασχολία και τις λύσεις σας. Στο κομμάτι της διδακτικής τέτοιου είδους ασκήσεων θα ήθελα να ακούσω και άλλες σκέψεις αν είναι δυνατόν...

Σας ευχαριστώ πολύ όλους εκ των προτέρων. Επίσης αν έχω κάνει κάποιο λάθος, θα παρακαλούσα να μου επισημανθεί, ώστε ως "μαθητής" που λέει και ο Μάκης να το διορθώσω...

Καλημέρα σε όλους

Φιλικά

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 1:21 pm**

Πανέμορφη και λειτουργική άσκηση που "πιέζει", με την καλή έννοια του όρου, για ακόμα περισσότερη ενασχόληση και είναι επιτυχία του εισηγητή του Θωμά που την έθεσε συνοδευόμενη μάλιστα από την πλήρη σκέψη που οδήγησε στην αντίστοιχη λύση. Όμως και ο πλουραλισμός των λύσεων παίζει σημαντικό ρόλο αφού η υποκειμενικότητα του μαθητή παίζει επίσης ρόλο.
Δηλαδή μία λύση πιθανόν να "κολλά" περισσότερο στον μαθητή Α΄από ότι στον μαθητή Β΄ κ.τ.λ.
Σίγουρα θα πρέπει απαραίτητα να διδάσκονται ΚΑΙ τέτοια θέματα αφού κατά την άποψη μου και τελικά, οι καλοί μαθητές είναι και αυτοί μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 4:28 pm**

Τα παρακάτω γραφόμενα του Θωμά με ώθησαν να πω κι εγώ τη γνώμη μου...

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:
Ο αθεόφοβος λύτης αντί να εφαρμόσει Bolzano για την και να τελειώνει σε μία σειρά, θεωρεί την "προφανή" συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=e^{ \int_{a}^{x}{f(t)dt}}(x-a)(x-b)}$ και εφαρμόζει το φανερό πια Rolle στο διάστημα ...

Τέτοιες λύσεις νομίζω ότι απομακρύνουν τους μαθητές από τα Μαθηματικά, κάνοντάς τους να πιστέψουν ότι "...δεν είναι για εκείνους"... Προσωπικά θεωρώ ΧΡΕΟΣ ΜΟΥ ως δασκάλου, να εξηγήσω στο μέτρο του δυνατού στους μαθητές μου ΠΩΣ προέκυψε αυτή η "τερατώδης συνάρτηση"... Το λέω γιατί αυτή τη συνάρτηση την βρήκα και εξήγησα πως επινοήθηκε η ... Θα το καταθέσω στο forum σε πρώτη ευκαιρία...

Με μπλε έχω χρωματίσει αυτό που εν μέρει συμφωνώ. Συμφωνώ μόνο όταν η συνάρτηση παρουσιάζεται ξεκάρφωτα και όχι πλήρως δικαιολογημένα όπως φαίνεται σε παρακάτω δημοσίευση.

Απλά να πως πως προτιμώ να μαθαίνω στους μαθητές μου τη μέθοδο ολοκληρωτικού παράγοντα η οποία τελειώνει σχεδόν άμεσα τέτοιου είδους (ανιαρά κατά την ταπεινή μου γνώμη) προβλήματα παρά να παρουσιάσω μία πολύ πολύ βαριά και δυσβάστακτη διδακτικά αντιμετώπιση όπως του Θωμά, παρακάτω.

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Φωτεινή, Διονύση και Μάκη ευχαριστώ πολύ για την ασχολία σας.

Οι δικές μου σκέψεις πάνω στο θέμα είναι οι ακόλουθες :

Ζητώ ρίζα της εξίσωσης : $\displaystyle{ f''\left( x \right) = \frac{{2f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$
ή ισοδύναμα της $\displaystyle{ f''\left( x \right) - \frac{{2f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 0 }$
ή της $\displaystyle{ f''\left( x \right) - 2k = 0 }$
όπου $\displaystyle{ k = \frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$ ή ισοδύναμα της $\displaystyle{ \left[ {f'\left( x \right) - \left( {2x + c_1 } \right)k} \right]^\prime = 0 }$
οπότε ζητώ δύο ίσες τιμές της $\displaystyle{ {h\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {2x + c_1 } \right)k} }$
ώστε να εφαρμόσω Rolle. Η τελευταία ισοδύναμα γίνεται : $\displaystyle{ \left[ {f\left( x \right) - \left( {x^2 + c_1 x + c_2 } \right)k} \right]^{\prime \prime } = 0 }$
και αν θέσω $\displaystyle{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {x^2 + c_1 x + c_2 } \right)k }$ , τότε ζητώ τρεις ίσες τιμές της ώστε να εφαρμόσω δύο Rolle και μετά ένα ακόμη Rolle στην παράγωγό της που είναι η .

Με τις σκέψεις αυτές προσπαθώ να "ταιριάξω" τα ώστε να έχω ίσες τιμές για την $\phi$ στα . Έτσι :

$\displaystyle{ \phi \left( a \right) = f\left( a \right) - \left( {a^2 + c_1 a + c_2 } \right)k = - \left( {a^2 + c_1 a + c_2 } \right)k }$
$\displaystyle{ \phi \left( b \right) = f\left( b \right) - \left( {b^2 + c_1 b + c_2 } \right)k = - \left( {b^2 + c_1 b + c_2 } \right)k }$
και
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = f\left( c \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)k }$
Τώρα είναι η σκέψη :

Το με ενοχλεί απείρως, οπότε :
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = f\left( c \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)\frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }$
ή
$\displaystyle{ \phi \left( c \right) = \frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\left[ {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)} \right] }$ ή $\displaystyle{ \phi \left( c \right) = k\left[ {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {c^2 + c_1 c + c_2 } \right)} \right] }$
Κάνοντας τις πράξεις στην αγκύλη βρήκα :
$\displaystyle{ - c\left( {a + b + c_1 } \right) + \left( {ab - c_2 } \right) }$
και το "είδα" σαν οικογένεια ευθειών με παράμετρο το . Απαίτησα λοιπόν να μηδενίζονται ταυτόχρονα οι δύο παρενθέσεις, ελπίζοντας...

Έτσι βρήκα $\displaystyle{ c_1 = - \left( {a + b} \right)\,\kappa \alpha \iota \,c_2 = ab }$
Τώρα αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην $\phi$ βρίσκω φανερά ότι $\displaystyle{\phi \left( c \right) = 0}$ . Οκ. Αλλά με τις άλλες δύο τιμές τι γίνεται ;

Όμως τώρα $\displaystyle{ \phi \left( a \right) = - \left( {a^2 - \left( {a + b} \right)a + ab} \right)k = 0 }$ (πολύ όμορφα ως εδώ!)
και
$\displaystyle{ \phi \left( b \right) = - \left( {b^2 - \left( {a + b} \right)b + ab} \right)k = 0 }$
Άρα η συνάρτηση $\phi$ ικανοποιεί δις το Θεώρημα Rolle σε κάθε ένα των διαστημάτων και , οπότε υπάρχουν $x_1 \in (a,c),x_2\in (c,b)$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ \phi '\left( {x_1 } \right) = h\left( {x_1 } \right) = 0 }$
και $\displaystyle{ \phi '\left( {x_2 } \right) = h\left( {x_2 } \right) = 0 }$
και μετά ένα Rolle στην τελειώνει την άσκηση...

Η συνάρτηση λοιπόν που λύνει το πρόβλημα είναι η :

$\displaystyle{\boxed{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab} \right)\frac{{f\left( c \right)}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} }}$

ή η

$\displaystyle{\boxed{ \phi \left( x \right) = f\left( x \right)\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right) - \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)f\left( c \right) }}$

Ελπίζοντας ότι δεν έχω λάθος στην πληκτρολόγηση, σας καλημερίζω ξανά όλους

Θωμάς

Νομίζω πως έτσι οι μαθητές θα χάσουν τ'αυγά και τα πασχάλια.

Χαιρετώ και απλά παράθεσα την αποψή μου η οποία και δε θέλω να παρεξηγηθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 10:16 pm**

Γεια σας.
Επειδή παρακολουθούν και Μαθητές θα ήθελα να εξηγήσω:
Προφανώς κάποιες λύσεις απογοητεύουν και αδικούν την αντίστοιχη προς αυτές άσκηση όταν ο Καθηγητής – Δάσκαλος δεν έχει και ο ίδιος καταλάβει τι γίνεται (ευγενικά το λέω) και τις παρουσιάζει από το πουθενά και με βάση το δόγμα του Σοκ του Σώρος. Αυτό είναι ο ορισμός του αυτονόητου σε συζητήσεις τουλάχιστον μεταξύ ανθρώπων που ασχολούνται.
Όμως προσωπικά επιμένω ότι τέτοιες ασκήσεις πρέπει να λύνονται από τον διδάσκοντα (ή από κάποιο Μαθητή σαν ευχάριστη έκπληξη), μαζί με την σκέψη τους, αφού προηγουμένως έχουν κτιστεί βήμα-βήμα τα μεθοδολογικά βήματα που τις αποτελούν και που στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι αρκετά και καλά, ώστε να εμπνεύσουν.
Ο καλός δάσκαλος μπορεί να μετατρέψει το δύσκολο θέμα σε πρόκληση, αρκεί να το επιχειρήσει αργά, μεθοδικά και με την επένδυση με τα κατάλληλα θεωρητικά και μεθοδολογικά στοιχεία.
Και βέβαια ούτε σκέψη τέτοιο θέμα να μπει ξαφνικά σε διαγώνισμα στην τάξη.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 14, 2012 11:45 pm**

Καλησπέρα στην εκλεκτή παρέα του

Μόλις τελείωσα το μάθημα και θα ήθελα να πω ακόμη μερικά πράγματα...

Είμαι ένας άνθρωπος που ασχολείται με πάθος - όσοι με γνωρίζουν καταλαβαίνουν απολύτως τι λέω - με τα Μαθηματικά της Γ' τάξης και ιδιαίτερα με την Ανάλυση, προς την οποία έχω ιδιαίτερη αγάπη...

Όταν όμως τίθονται θέματα σαν το "Απαιτητικό Rolle 1" σε μαθητές και η "λύση" τους είναι

"θεωρούμε τη συνάρτηση ...***βοήθειά σου***... και εφαρμόζουμε 3 Rolle και 4 ΘΜΤ... και οεδ!!!"

νομίζω - και το λέω μετά λόγου γνώσεως - ότι γινόμαστε τροχοπέδη στην προσπάθειά τους και όχι αρωγοί που θα έπρεπε να είμαστε...

Ειλικρινά, όταν μου τέθηκε η άσκηση αυτή από κάποιον μαθητή μου τη Δευτέρα το βράδυ - ξαναλέω εκτός

- του είπα ότι πρέπει να εφαρμόσουμε (φαντάζομαι) διαδοχικά το Θεώρημα Rolle ίσως και το Θεώρημα Μέσης Τιμής σε κατάλληλα επιλεγμένα διαστήματα...'Ομως σε ποια συνάρτηση???

Έτσι το βράδυ της ημέρας ασχολήθηκα με το θέμα και μέσω της διαδικασίας που έγραψα παραπάνω ΒΡΗΚΑ τη συνάρτηση στην οποία θα έπρεπε να δουλέψω...

Την κατέθεσα στην παρέα μας με χαρά, περισσότερο γιατί νόμισα ότι είχα κάτι να δώσω στην Ανάλυση... Ξέρω ότι πολλοί εκτός

θα οικειοποιηθούν τις σκέψεις αυτές, τόσο της Φωτεινής, του Διονύση, του Μάκη και της δικής μου... αλλά δεν πειράζει. Άλλωστε έχω από πολλά χρόνια μάθει πως

"στις μέρες μας, δεν έχει αξία η ανάταση, το ψάξιμο ή το ξενύχτι, αλλά δυστυχώς μόνο το κολύμπι στον αφρό, αφού ΟΛΑ παίζονται στη σφαίρα των εντυπώσεων"...

Ειλικρινά όμως - και χωρίς ΙΧΝΟΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΗΣ ΑΙΧΜΗΣ ΓΙΑ ΚΑΝΕΝΑΝ - δεν καταλαβαίνω το Χρήστο που μου λέει ότι "οι μαθητές θα χάσουν τα αυγά και τα Πασχάλια"... Δηλαδή τι ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΤΕΡΟ (αυτό είναι το μόνο που με νοιάζει στη Γ' Λυκείου) έχει η λύση του Διονύση της Φωτεινής ή του Μάκη;;; Είναι όλες τους ΥΠΕΡΟΧΕΣ... Η ερώτηση όμως εξακολουθεί : ΤΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΤΕΡΟ ΕΧΟΥΝ

Εγώ θεωρώ - όπως και ο κάθε λύτης θεωρεί τη λύση του απλούστερη - ότι εξήγησα ίσως πολύ πιό αναλυτικά απο ότι θα έπρεπε για το forum, ΠΩΣ βρήκα τη συνάρτηση στην οποία θα έπρεπε να δουλέψω... Βρήκα τα c_1

και

ΑΠΑΙΤΩΝΤΑΣ να λειτουργεί το Θ. Rolle...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δεν είμαι παππούς (ελπίζω τουλάχιστον !) είμαι

ετών και πάνω από

χρόνια στο χώρο της εκπαίδευσης και έχω πραγματικά βαρεθεί διάφορους τύπους - κυρίως σε Δημόσια Σχολεία αλλά και στο δικό μας φροντιστηριακό χώρο - να "κατασκευάζουν" ασκήσεις του είδους ως εξής :

Θεωρούν μία δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και κατόπιν γράφουν ότι τους κατέβει (πχ) : $\displaystyle{ F\left( x \right) = f^2 \left( x \right)e^{\sin f\left( x \right)} \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) }$
Αυτή είναι φανερό ότι ικανοποιεί το Θεώρημα Rolle στο $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$ . Μετά παραγωγίζουν την

βάζουν όπου

το $\xi$ του Rolle και λένε νδο υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (a,b)$ , τέτοιο ώστε ... ότι τέλος πάντων βρήκαν από την παραγώγιση...

Κατόπιν κρύβουν τη συνάρτηση που αρχικά φαντάστηκαν και δίνουν ΜΟΝΟ το ζητούμενο, αφήνοντας απορημένες νεανικές φατσούλες και μερικά ... κ@ντήλι@ προς τον θεματοδότη... Μπορεί για μας αυτό να φαντάζει ως πρόκληση, αλλά η εμπειρία μου λέει ότι για τη συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών μας είναι απλά παραλογισμός... ακόμα και για μαθητές με τρομερές ικανότητες...

Σας κούρασα και σας ζητώ συγγνώμη από τα βάθη της καρδιάς μου... Ήθελα να τα πω και τα είπα... Πιστεύω ότι δεν λέω χαζά... Θεωρώ ότι συμφωνεί μαζί μου ποσοστό μεγαλύτερο του 99% των μαθητών... Με αυτούς είμαι το ξαναλέω...

Τελειώνοντας διερωτώμαι ξανά : ΤΙ ΕΝΑΙ ΠΙΟ ΔΥΣΚΟΛΟ ΣΤΗ ΛΥΣΗ ΜΟΥ ΑΠΟ ΤΗ ΛΥΣΗ της Φωτεινής και του Διονύση ;;; Οι αρχικές που χρησιμοποιούν εμένα μου φαίνονται αυθαίρετες f(c)=f(c)(x-a){'}

έγραψαν, ενώ εγώ έγραψα $f(c)=f(c)(x+c_1){'}$ και μετά ΒΡΗΚΑ τα c_1

,

που χρειαζόμουν... Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω ...

Με συγχωρείτε ειλικρινώς για την κούραση....

Καλό και Μαθηματικό βράδυ σε όλους

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 15, 2012 12:58 am**

Δεν έχω να πω κάτι παραπάνω από αυτό που έγραψα πριν.
Θεωρώ ανιαρές αυτές τις ασκήσεις αλλά και η λύση του Θωμά πιστεύω πως δεν διδάσκεται
εύκολα σε παιδιά.
Καμία μομφή ούτε για τις προθέσεις ούτε για τις γνώσεις του Θωμά, κάθε άλλο μάλιστα.
Αν εννοήθηκε κάτι τέτοιο ζητάω συγνώμη και λέω πως δεν το ήθελα.
Είναι ξεκάθαρα αυτά που γράφω νομίζω.
Καλό βράδυ σε όλους.

Πρωϊνή συμπλήρωση:
Βλέποντας αυτό:

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Προσωπικά θεωρώ ΧΡΕΟΣ ΜΟΥ ως δασκάλου, να εξηγήσω στο μέτρο του δυνατού στους μαθητές μου ΠΩΣ προέκυψε αυτή η "τερατώδης συνάρτηση"... Το λέω γιατί αυτή τη συνάρτηση την βρήκα και εξήγησα πως επινοήθηκε η ... Θα το καταθέσω στο forum σε πρώτη ευκαιρία...

ρωτάω τον Θωμά ευθέως πόσες διδακτικές ώρες εκτιμά πως θα χρειαστεί ένας καθηγητής τεχνολογικής κατεύθυνσης αν θελήσει να κάνει και αυτός το χρέος του ως δάσκαλος, όχι σε ιδιαίτερο και μάλιστα με μαθητή "κανόνι", όχι σε φροντιστηριακό μάθημα με 5-10 μαθητές, αλλά σε μία αίθουσα δημόσιου σχολείου με 25+ μαθητές.
Αν σου είναι εύκολο απάντησε μου σε παρακαλώ. Ίσως τότε να δικαιολογήσεις το "ανιαρό" που χρησιμοποίησα.
Επιπλέον για να απαντήσω στη δική σου ερώτηση δε δοκίμασα να τη λύσω με ολοκληρωτικό παράγοντα, μπορεί να νόμισα εκ του μακρώθεν πως λύνεται αλλά αυτό ας το εκλάβετε ως "συγχωρητέο" αφού την Ανάλυση όπως λες κι εσύ (πολύ βαρύ να λέμε πως κάνουμε "Ανάλυση") τώρα αρχίζω να την περπατάω και δεν έχω την εμπειρία που αρμόζει...
Εν μέσω εργασιών καλημερίζω το φόρουμ.
Να είστε καλά.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 15, 2012 9:08 am**

Χαιρετώ την εκλεκτή παρέα του

Συμφωνώ με τα παραπάνω του Χρήστου για το πόσες ώρες χρειάζεται σε ένα Δημόσιο Σχολείο με 25+ μαθητές κάποιος για να τη διδάξει... Όλη η κουβέντα και ο (δικός μου τουλάχιστον) προβληματισμός ξεκίνησε όταν μου τέθηκε το θέμα αυτό από ένα μαθητή μου "κανόνι" όπως λες, θέμα που του πρότεινε κάποιος φίλος του στον οποίον το έδωσε ο Δάσκαλός του ως πρόκληση κλπ.... Για εξαιρετικά λίγους νομίζω ότι είναι το πρόβλημα αυτό όπως και κάθε ανάλογό του... Αν το έβαζα, θα φρόντιζα από πριν να έχω μία πειστική δικαιολογία για τη συνάρτηση που θεωρώ για να λύσω το πρόβλημά μου. Όλη την κουβέντα την έκανα γιατί όπως έγραψα και πριν, έχω βαρεθεί αυτό "θεωρούμε τη συνάρτηση..." το οποίο ακούω από μαθητής ακόμη... Κάθε φορά που ρωτούσα πως έγινε αυτό ή το άλλο τους "φοβερούς" δασκάλους μου στο Σχολείο, έπαιρνα πάντα την ίδια (άθλια) απάντηση "και συ όταν μάθεις έτσι θα το κάνεις !!!" - "Μα ρε Δάσκαλε να μάθω θέλω", απαντούσα εγώ κλπ, κλπ, κλπ. Από τέτοιες απαντητικές αθλιότητες ήθελα και θέλω να προφυλάξω τη νεολαία μας το πιο ζωντανό κομμάτι της κοινωνίας μας...

Ζητώ συγγνώμη από όλη την κοινότητα αν σας ζάλισα με τις απόψεις μου, τις οποίες θεωρώ ότι έχω κάθε δικαίωμα να διατηρώ στο ακέραιο, μέχρι προφανώς να βρεθεί κάποιος ο οποίος θα μου αποδείξει (Μαθηματικοί είμαστε) το αντίθετο...

Καλή σας Μέρα με ΥΓΕΙΑ και ΔΥΝΑΜΗ στο δύσκολό μας έργο, να μάθουμε στα παιδάκια μας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και όχι ΦΑΚΙΡΙΚΗ...
Να τους μάθουμε να σκέφτονται όσο γίνεται περισσότερο και όχι να εκπαιδεύουμε Μάγους ... (Για τις Πανελλαδικές μιλάω προφανώς !!!)

Φιλικά

Θωμάς

mathematica.gr

Απαιτητικό Rolle 1

Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1

Re: Απαιτητικό Rolle 1