mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2013 2:07 pm**

Έστω το πολυώνυμο P(x)

ώστε φια κάθε $x\in{R}$ να ισχύει:
$P(x)+P{'}(x)+P{''}(x)+...+P^{(10)}(x)=x^{10}+2.9^{9}$

Να δείξετε ότι $P(x)\geq{9^{9}}$ για κάθε $x\in{R}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2013 2:23 pm**

Σακης έγραψε:Έστω το πολυώνυμο ώστε για κάθε $x\in{R}$ να ισχύει:
$P(x)+P{'}(x)+P{''}(x)+...+P^{(10)}(x)=x^{10}+2.9^{9}$

Να δείξετε ότι $P(x)\geq{9^{9}}$ για κάθε $x\in{R}$ .

Καλησπέρα. Ζητώ μία διευκρίνιση. Είναι δύο επί εννέα στην ενάτη ή δύο κόμμα εννέα στην ενάτη;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 29, 2013 3:49 pm**

Το

είναι δεκάτου βαθμού γιατί αν ήταν μικρότερου βαθμού τότε το $P(x)+P'(x)+...+P^{(10)}(x)$ δεν θα ήταν δεκάτου βαθμού και ομοίως δεν μπορεί να είναι βαθμού άνω του δεκάτου.
Επομένως $P^{(11)}(x)=0.$

Παραγωγίζουμε τη δοσμένη και $P'(x)+P''(x)+...+P^{(10)}(x)=10x^9.$ Αφαιρώντας, $P(x)=x^{10}-10x^9+2\cdot 9^9.$
Είναι $P'(x)=10x^{9}-90x^8=10x^8(x-9).$ Στο μηδέν δεν αλλάζει το πρόσημο της παραγώγου, οπότε στο

έχουμε ελάχιστο ίσο με $P(9)=9^{10}-10\cdot 9^9+2\cdot 9^9=\left(9-10+2 \right)9^9=9^9$

mathematica.gr

Από βιβλίο του Πατήλα

Από βιβλίο του Πατήλα

Re: Από βιβλίο του Πατήλα

Re: Από βιβλίο του Πατήλα