mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 02, 2010 1:30 am**

'Eστω f:R--R συνάρτηση η οποία έχει δεύτερη παράγωγο και ισχύουν τα εξής:
i)f+f''=0,ii)f(0)=f'(0).Nα βρεθεί η f.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 02, 2010 2:05 am**

Είναι μια ώρα δύσκολη...
Ανασκευάζω τη λύση...
Θεωρώ τη συνάρτηση g με:
$\displaystyle{ g(x) = f^2 (x) + (f'(x))^2 }$
με χ πραγματικό..
Προφανώς είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R,με

$\displaystyle{ g'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)(f(x) + f''(x)) = 0 }$
για κάθε χ πραγματικό. Αρα:

g(x)=c, c πραγματικός...
Για χ=0 εύκολα παίρνω και c=0.
Αρα g(x)=0, για κάθε χ πραγματικό που οδηγεί με τη σειρά του και στην f(x)=0, που επαληθεύει.

Πάντως στο μηδέν έπεσα μέσα!!

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 02, 2010 9:31 am**

Νομίζω ότι και η συνάρτηση $\boxed{\displaystyle f(x)=sinx + cosx}$ ικανοποιεί τις προυποθέσεις τις άσκησης...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 02, 2010 10:10 am**

όντως ικανοποιεί τα δεδομένα...στην απόδιξη του κύριου Χρήστου έχει εκ παραδρομής θέσει f(0)=f'(0)=0
και γι αυτό βγαίνει g(0)=0 ενώ είναι g(0)=2(f'(0))^2

και η γενική λύση της διαφορικής του Laplace μέσω χαρακτιριστικών εξισώσεων βγαίνει εύκολα f(x)=c_1sinx+c_2cosx

για να ισχύει και f(0)=f'(0) πρεπει και c_2=c_1

άρα f(x)=

με $c_1\in R$

άρα μάλλον κάτι λείπει στην εκφώνηση...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 02, 2010 12:01 pm**

Καλημέρα σε ολους!
Απολογούμαι μα είναι η αλήθεια.
Εμένα στον υπολογιστή μου, φαίνεται:
$\displaystyle{ f + f'' = 0 }$
γι'αυτό βγάζω την παράγωγο ίση με το μηδέν.
Ευχαριστώ τους πάντες για τις υποδείξεις τους.
Απο εδώ και στο εξής θα είναι νόμος για μένα να μην απαντάω σε μηνύματα που δεν έχουν καθαρή γραφή.
Αν είναι δυνατόν βρε παιδιά λίγο πιο καθαρά και ευανάγνωστα.
Υ.Γ:Νομίζω πως τώρα κατάλαβα και το λάθος δεδομένο που πήρα.Δεκτόν!!

mathematica.gr

f(x)=;

f(x)=;

Re: f(x)=;

Re: f(x)=;

Re: f(x)=;

Re: f(x)=;