mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 24, 2020 1:21 pm**

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι $\displaystyle BC=6$ και $\displaystyle AB+AC=10$ . Πόσο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ;

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 24, 2020 2:02 pm**

exdx έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2020 1:21 pm
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι $\displaystyle BC=6$ και $\displaystyle AB+AC=10$ . Πόσο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ;

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά .

$\displaystyle c = 10 - b$ και από τον τύπο του Ήρωνα, $\displaystyle (ABC) = \sqrt {8 \cdot 2(8 - b)(b - 2)} = 4\sqrt {(8 - b)(b - 2)}$

Επειδή όμως, (8-b)+(b-2)=6,

το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν $\displaystyle 8 - b = b - 2 \Leftrightarrow b = c = 5$

Άρα, $\boxed{ {(ABC)_{\max }} = 12}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 24, 2020 4:32 pm**

exdx έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2020 1:21 pm
Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι $\displaystyle BC=6$ και $\displaystyle AB+AC=10$ . Πόσο είναι το μέγιστο εμβαδόν του ;

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά .

: Μέγιστο kalathaki_2.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Έστω το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα BC = 6

. Γράφω τον κύκλο $\left( {B,10} \right)$ .

Για κάθε τυχαίο σημείο του

η μεσοκάθετος στο

τέμνει την ακτίνα

στο

Το

διαγράφει έλλειψη με εστίες τα $B\,,\,\,C$ και μεγάλο άξονα μήκους

.

Το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ γίνεται μέγιστο όταν ο φορέας του ύψους του

συμπέσει

με το φορέα του μικρού άξονα της έλλειψης δηλαδή το

γίνει μεσοκάθετος του

.

Προφανώς τότε : $AB = AC = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = 4$ άρα το μέγιστο εμβαδόν , $\boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\max }} = \frac{{6 \cdot 4}}{2} = 12}$

mathematica.gr

Μέγιστο εμβαδόν (2)

Μέγιστο εμβαδόν (2)

Re: Μέγιστο εμβαδόν (2)

Re: Μέγιστο εμβαδόν (2)