mathematica.gr • Εύρεση συνάρτησης από δοθείσα σχέση

Σελίδα 1 από 1

Εύρεση συνάρτησης από δοθείσα σχέση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 25, 2010 1:59 pm

από polysot

Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση :
$f'(x) + ln(f(x)) = x +e^x, \forall x \in [0,a]$
και f(0) = 1, f(a)=e^a

f(0) = 1, f(a)=e^a

.
Να αποδείξετε ότι $f(x) = e^x, \forall x \in [0,a]$

Re: Εύρεση συνάρτησης από δοθείσα σχέση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 25, 2010 4:38 pm

από cretanman

Ορίζουμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-e^x

g(x)=f(x)-e^x

η οποία είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγισίμων. Αρα f(x)=g(x)+e^x

f(x)=g(x)+e^x

και η δοσμένη σχέση γίνεται $g'(x)+\ln({g(x)+e^x})=x \ \ (1)$ με g(0)=0, g(a)=0

g(0)=0, g(a)=0

.

Επειδή η συνάρτηση g(x)

g(x)

είναι ορισμένη και συνεχής στο κλειστό διάστημα [0,a]

[0,a]

άρα παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή M,m

M,m

αντίστοιχα, σε αυτό. Επειδή είναι παραγωγίσιμη, οι θέσεις των ακροτάτων είναι είτε τα άκρα του διαστήματος αυτού είτε κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος, έστω x_0

x_0

, όπου λόγω του ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat πρέπει να ισχύει g'(x_0)=0

g'(x_0)=0

.

Για

x=x_0

η

(1)

δίνει

g(x_0)=0

. Άρα αφού οι τιμές στα άκρα με την τιμή στο τυχαίο εσωτερικό σημείο x_0

x_0

στο οποίο υποθέσαμε ότι είναι θέση ακροτάτου, ταυτίζονται και είναι ίσες με

άρα

m=M=0

. Άρα η συνάρτηση g(x)

g(x)

είναι η σταθερή συνάρτηση g(x)=0

g(x)=0

για κάθε $x\in [0,a]$ , πράγμα που σημαίνει ότι f(x)=e^x

f(x)=e^x

για κάθε $x\in[0,a]$ .

Αλέξανδρος

Re: Εύρεση συνάρτησης από δοθείσα σχέση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 25, 2010 4:55 pm

από polysot

Εξαιρετικά Αλέξανδρε.
Την άσκηση αυτή την είχα δει με ζητούμενη την lnx σε βιβλίο του Μπαϊλάκη και την τροποποίησα κατάλληλα για να ζητείται η e^x

e^x

.