mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 08, 2011 10:05 pm**

Δεν θυμάμαι αν το έχουμε ξαναδεί

Να βρεθεί το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \int_x^{x^2 } {\frac{1}{{\ln t}}dt} }$

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 08, 2011 10:13 pm**

Υπάρχει μεσα στην ασκηση viewtopic.php?f=55&t=14858&p=78290#p78290
καθως και το ξαδελφάκι του (τέταρτο όριο) viewtopic.php?f=54&t=5667
Πάντως πολύ καλή ασκηση.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 08, 2011 10:46 pm**

Ας δώσω και μία δική μου λύση...
Θεωρώ γνωστή την ανισότητα $\displaystyle{ \ln x \le x - 1,\forall x > 0 }$
Θέτοντας $\displaystyle{ x \to \frac{1}{x} > 0 }$ λαμβάνω: $\displaystyle{ - \ln x \le \frac{1}{x} - 1 \Rightarrow \ln x \ge \frac{{x - 1}}{x},x > 0 }$
Τελικά:
$\displaystyle{ \frac{{x - 1}}{x} \le \ln x \le x - 1,\forall x > 0 }$
Τώρα έχω (για να συμβαδίσω με την εκφώνηση του Γιώργου):
$\displaystyle{ \frac{{t - 1}}{t} \le \ln t \le t - 1,\forall t > 0 }$
Παρατηρώ πως κοντά στο 1 είτε με τιμές μικρότερες είτε με μεγαλύτερες απο αυτό,τα δύο ακραία μέλη της ανισότητας
είναι ομόσημα(άρα και το μεσαίο).Συνεπώς κοντά στο 1,θα έχω:
$\displaystyle{ \frac{t}{{t - 1}} \ge \frac{1}{{\ln t}} \ge \frac{1}{{t - 1}},t \ne 1 }$
Ολοκληρώνοντας τώρα έχω:
$\displaystyle{ \int\limits_x^{x^2 } {\frac{t}{{t - 1}}dt} \ge \int\limits_x^{x^2 } {\frac{1}{{\ln t}}dt \ge \int\limits_x^{x^2 } {\frac{1}{{t - 1}}dt} } }$ (όταν τα άκρα ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερα του 1) ή
$\displaystyle{ \int\limits_x^{x^2 } {\frac{t}{{t - 1}}dt} \le \int\limits_x^{x^2 } {\frac{1}{{\ln t}}dt} \le \int\limits_x^{x^2 } {\frac{1}{{t - 1}}dt} }$ (όταν τα άκρα ολοκλήρωσης είναι μικρότερα του 1)
Σε κάθε περίπτωση είναι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \int\limits_x^{x^2 } {\frac{t}{{t - 1}}dt} = \left[ {t + \ln |t - 1|} \right]_x^{x^2 } = x^2 - x + \ln |x + 1| \\ \int\limits_x^{x^2 } {\frac{1}{{t - 1}}dt = \left[ {\ln |t - 1|} \right]_x^{x^2 } } = \ln |x + 1| \\ \end{array} }$
Τότε για $\displaystyle{ x \to 1^ + }$ και $\displaystyle{ x \to 1^ - }$
λαμβάνω όριο των ακραίων ποσοτήτων το $\displaystyle{ \ln 2 }$
Συνεπώς και στις δύο περιπτώσεις το όριο της μεσαίας ποσότητας είναι επίσης $\displaystyle{ \ln 2 }$
Τελικά το όριο είναι $\displaystyle{ \ln 2 }$ όταν το $\displaystyle{ x \to 1 }$
Y.Γ:Εκ παραδρομής είχα ξεχάσει να αλλάξω τη φορά.Διόρθωσα.Γιώργο ευχαριστώ!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 09, 2011 10:34 am**

Καλημέρα

Ευχαριστώ τον Δημήτρη για τις παραπομπές και τον Χρήστο για τη λύση(είχα την ίδια λύση )

Γιώργος

mathematica.gr

Οριο

Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο

Re: Οριο