mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 31, 2016 10:54 pm**

'Ενα "εργαστηριακό" διαγώνισμα που δώσαμε στους μαθητές μας σήμερα μαζί με τον Άλκη Τζελέπη και τον Σωτήρη Χασάπη.
Περιέχει δύο ασκήσεις του βιβλίου και δύο ερωτήματα επί αυτών. Τα διαγωνίσματα αυτού του τύπου αποσκοπούν στο να ελέγχουν τα παιδιά τις ασκήσεις του σχολικού.
ΘΕΜΑ 1
1) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f\left( x\right) =x^{3}$ και $g\left( x\right) =2x-x^{2}$ .
2) Βρείτε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την γραφική παράσταση της

χωρίο με εμβαδόν 2016 τμ.
ΘΕΜΑ 2
Έστω μια συνάρτηση

με

συνεχή για την οποία ισχύει $\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) \right) \eta \mu xdx=2$ και $f\left( \pi \right) =1$ .
1) Με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες να υπολογίσετε το f(0)

.
2) Δείξτε ότι υπάρχει $x_{0}\in \left( 0,\pi \right)$ ώστε $f\left( x_{0}\right) +f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) =1$ .

Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2016 4:27 pm**

nsmavrogiannis έγραψε:'Ενα "εργαστηριακό" διαγώνισμα που δώσαμε στους μαθητές μας σήμερα μαζί με τον Άλκη Τζελέπη και τον Σωτήρη Χασάπη.
Περιέχει δύο ασκήσεις του βιβλίου και δύο ερωτήματα επί αυτών. Τα διαγωνίσματα αυτού του τύπου αποσκοπούν στο να ελέγχουν τα παιδιά τις ασκήσεις του σχολικού.
ΘΕΜΑ 1
1) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f\left( x\right) =x^{3}$ και $g\left( x\right) =2x-x^{2}$ .
2) Βρείτε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την γραφική παράσταση της χωρίο με εμβαδόν 2016 τμ.
ΘΕΜΑ 2
Έστω μια συνάρτηση με συνεχή για την οποία ισχύει $\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) \right) \eta \mu xdx=2$ και $f\left( \pi \right) =1$ .
1) Με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες να υπολογίσετε το .
2) Δείξτε ότι υπάρχει $x_{0}\in \left( 0,\pi \right)$ ώστε $f\left( x_{0}\right) +f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) =1$ .

Μαυρογιάννης

Καλησπέρα.

Στο ΘΕΜΑ 2 πιστεύω θα ήταν καλύτερο να μην είχε λεχθεί εμμέσως ο αλγόριθμος επίλυσης (χρήση της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες).

Επίσης θα ήθελα την γνώμη σας σχετικά με την "νομιμότητα" του δευτέρου ερωτήματος από το ΘΕΜΑ 2.

Εγώ θα το έλυνα έτσι:

Θεωρώ συνάρτηση $\mu(t)=(f(t)+f''(t))sint$ η οποία είναι συνεχής ως άθροισα συνεχών συναρτήσεων στο $[0,\pi]$ άρα θα υπάρχει παράγουσα της $\mu$ σε αυτό το διάστημα.

Έστω

παράγουσα της $\mu$ .

Τότε, $\displaystyle{\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) \right) \eta \mu xdx=F(\pi) -F(0)}$

Θεωρώ τώρα συνάρτηση h(x)=F(x)-F(0)+cosx

Η

πληροί τις προυποθέσεις του Rolle

στο $[0,\pi]$ . ( $h(0)=1,h(\pi)=2-1=1$ )

Συνεπώς,

$\displaystyle{\exists x_o \in (0,\pi): h'(x_o)=0 \Rightarrow \mu (x_o)-sinx_o=0\Rightarrow \left( f(x_o)+f''(x_o)\right)sinx_o=sinx_o}$

Όμως, $\displaystyle{sinx>0 ,\forall x \in \left(0,\pi \right)}$ άρα $\displaystyle{\exists x_o \in (0,\pi): \boxed{f(x_o)+f''(x_o)=1}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2016 11:09 pm**

Rempeskes έγραψε:Στο ΘΕΜΑ 2 πιστεύω θα ήταν καλύτερο να μην είχε λεχθεί εμμέσως ο αλγόριθμος επίλυσης (χρήση της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες).

Επίσης θα ήθελα την γνώμη σας σχετικά με την "νομιμότητα" του δευτέρου ερωτήματος από το ΘΕΜΑ 2.

Εγώ θα το έλυνα έτσι:
...........................

Καλησπέρα
α) Στα διαγωνίσματα με ασκήσεις από το βιβλίο διατηρουμε, όσο γίνεται, την εκφώνηση του βιβλίου. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η υπόδειξη υπάρχει στην εκφώνηση. (ασκ 340-Β-11).
β) Η λύση που παραθέτετε βρίσκω ότι είναι μία χαρά. Όσον αφορά την "νομιμότητα" της θεωρώ πως όποια λύση και αν δοθεί σε εξετάσεις που χρησιμοποιεί ύλη από το ισχύον βιβλίο (ακόμη και την περίφημη συνάρτηση-ολοκλήρωμα) είναι απολύτως νόμιμη.
γ) Μία άλλη προσέγγιση για το 2Β θα μπορούσε να είναι με απαγωγή στο άτοπο: Θέλουμε η συνεχής $\varphi \left( x\right) =f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) -1$ να έχει ρίζα στο $(0,\pi)$ . Αν δεν έχει διατηρεί πρόσημο. Ας πούμε ότι είναι θετική (η περίπτωση να είναι αρνητικη αντιμετωπίζεται εντελώς όμοια). Επειδή στο $(0,\pi)$ είναι και $\eta \mu x>0$ θα έχουμε ότι η συνάρτηση $\varphi \left( x\right) \eta \mu x$ θα είναι θετική στο $(0,\pi)$ και μηδέν στα $0,\pi$ . Αρα στο $[0,\pi]$ είναι μη αρνητική χωρίς να είναι παντού μηδέν άρα το ολοκλήρωμα της $\int_{0}^{\pi }\varphi \left( x\right) \eta \mu xdx$ θα είναι θετικό. Αλλά $\int_{0}^{\pi }\varphi \left( x\right) \eta \mu xdx=\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) -1\right) \eta \mu xdx=$ $\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) \right) \eta \mu xdx-\int_{0}^{\pi }\eta \mu xdx=2-2=0$ (άτοπο).
Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2016 11:28 pm**

nsmavrogiannis έγραψε: β) Η λύση που παραθέτε βρίσκω ότι είναι μία χαρά. Όσον αφορά την "νομιμότητα" της θεωρώ πως όποια λύση και αν δοθεί σε εξετάσεις που χρησιμοποιεί ύλη από το ισχύον βιβλίο (ακόμη και την περίφημη συνάρτηση ολοκλήρωμα) είναι απολύτως νόμιμη.

Μακάρι κύριε Μαυρογιάννη όλοι να σκέφτονται έτσι γιατί παρατηρώ ότι υπάρχει σύγχυση.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 02, 2016 1:07 pm**

nsmavrogiannis έγραψε:'Ενα "εργαστηριακό" διαγώνισμα που δώσαμε στους μαθητές μας σήμερα μαζί με τον Άλκη Τζελέπη και τον Σωτήρη Χασάπη.
Περιέχει δύο ασκήσεις του βιβλίου και δύο ερωτήματα επί αυτών. Τα διαγωνίσματα αυτού του τύπου αποσκοπούν στο να ελέγχουν τα παιδιά τις ασκήσεις του σχολικού.
ΘΕΜΑ 1
1) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f\left( x\right) =x^{3}$ και $g\left( x\right) =2x-x^{2}$ .
2) Βρείτε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την γραφική παράσταση της χωρίο με εμβαδόν 2016 τμ.
ΘΕΜΑ 2
Έστω μια συνάρτηση με συνεχή για την οποία ισχύει $\int_{0}^{\pi }\left( f\left( x\right) +f^{\prime \prime }\left( x\right) \right) \eta \mu xdx=2$ και $f\left( \pi \right) =1$ .
1) Με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες να υπολογίσετε το .
2) Δείξτε ότι υπάρχει $x_{0}\in \left( 0,\pi \right)$ ώστε $f\left( x_{0}\right) +f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) =1$ .

Μαυρογιάννης

Καλημέρα! Θεωρώ το διαγώνισμα απλά καταπληκτικό! Στηρίζεται σε ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και είναι απόλυτα
διαβαθμισμένης δυσκολίας. Με ένα ωραίο υποερώτημα για να ξεχωρίσει ο άριστος...
Και νομίζω ότι στο 1ο υποερώτημα κρύβεται και η αρχική για το Rolle για την οποία ανησυχεί ο φίλος Rempeskes, χωρίς να
χρειάζεται η χρήση της συνάρτησης ολοκλήρωμα. Και εξηγούμαι...

Εφαρμόζοντας στο 1ο υποερώτημα την παραγοντική ολοκλήρωση προκύπτει ... η " έμπνευση ":
Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=-f(x)\cdot \sigma \upsilon \nu x+f'(x)\cdot \eta \mu x+ \sigma \upsilon \nu x$ , συνεχή στο $[0,\pi ]$ ,
παραγωγίσιμη στο $(0,\pi )$ με $g'(x)=f(x) \eta \mu x + f''(x) \eta \mu x - \eta \mu x$ και $g(0)=g(\pi)=0$ .

Συνεπώς από το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_{o} \epsilon (0,\pi )$ τέτοιο ώστε $f(x_{o}) \eta \mu x_{o} + f''(x) \eta \mu x_{o} - \eta \mu x_{o} =0$
και επειδή $\eta \mu x_{o} \neq 0$ αφού $x_{o} \epsilon (0,\pi )$ , προκύπτει το ζητούμενο.
Νομίζω ότι το διαγώνισμα πέτυχε το σκοπό του και με το παραπάνω!
Αλήθεια, πώς έγραψαν τα παιδιά;
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 02, 2016 1:30 pm**

Το πρώτο υποερώτημα του θέματος 2 το χουμε δει και εδώ. Μεταφέρω τη λύση (με παράγοντες) από κει.
$\displaystyle{\begin{aligned} 2 &= \int_{0}^{\pi}f(x)\sin x \, {\rm d}x + \int_{0}^{\pi}f''(x)\sin x \, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, {\rm d}x + \cancelto{0}{\left [ f'(x) \sin x \right ]_0^\pi }- \int_{0}^{\pi}f'(x) \cos x \, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\pi}f(x) \sin x \, {\rm d}x - \left [ f(x) \cos x \right ]_0^\pi - \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, {\rm d}x\\ &= - f(\pi) \cos \pi + f(0) \cos 0 +\cancel{\int_{0}^{\pi}f(x) \sin x \, {\rm d}x - \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, {\rm d}x}\\ &= 1 + f(0) \end{aligned}}$ Άρα f(0)=1

.

mathematica.gr

'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

Re: 'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

Re: 'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

Re: 'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

Re: 'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου

Re: 'Ενα με ασκήσεις του βιβλίου