mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 08, 2017 12:24 pm**

Νομίζω κάνει για το φάκελο αυτό ...

Να βρεθεί η $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι:
$\displaystyle{f(x) = 2x^2 -3 \int_{-1}^{0} x f(t) \, {\rm d}t - \int_0^1 f(t) \, {\rm d}t}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 08, 2017 12:42 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2017 12:24 pm
Να βρεθεί η $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ αν ισχύει ότι:
$\displaystyle{f(x) = 2x^2 -3 \int_{-1}^{0} x f(t) \, {\rm d}t - \int_0^1 f(t) \, {\rm d}t}$

Επειδή τα ολοκληρώματα ως προς

στους οι δύο τελευταίους προσθετέους είναι απλοί αριθμοί, είναι φανερό ότι f(x)=2x^2+ax + b

για κατάλληλα $a, \, b$ . Θέτοντας πίσω στην δοθείσα έχουμε

$\displaystyle{ 2x^2 + ax+b= 2x^2 -3x \int_{-1}^{0} (2t^2 + at+b) \, {\rm d}t - \int_0^1 (2t^2 + at+b) \, {\rm d}t}$ ή αλλιώς

$\displaystyle{ 2x^2 + ax +b= 2x^2 -3x (1- \frac {a}{2} + b) - (1+ \frac {a}{2}+b)$

Λύνουμε τώρα ως προς a, b

το σύστημα που προκύπτει από σύγκριση συντελεστών, δηλαδή το $a=-3 (1- \frac {a}{2} + b), \, b = - (1+ \frac {a}{2}+b)$ . Και λοιπά.

Edit: Έκανα διόρθωση καθώς στην αρχική μου λύση δεν είδα το μέσα στο ολοκλήρωμα ως προς . Ευχαριστώ τους διάφορους φίλους που μου επεσήμαναν το σφάλμα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 09, 2017 10:44 am**

Λίγο διαφορετικά

Έστω $\displaystyle{A=\int_{-1}^0f(t)dt,~~B=\int_0^1f(t)dt}$ , τότε έχουμε ότι $\displaystyle f(x)=2x^2-3Ax-B$ και άρα

$\displaystyle{A=\int_{-1}^0(2t^2-3At-B)dt}=\big[\frac{2t^3}{3}-\frac{3At^2}{2}-Bt\big]_{-1}^0=\frac{2}{3}+\frac{3A}{2}-B$ και

$\displaystyle{B=\int_{0}^1(2t^2-3At-B)dt}=\big[\frac{2t^3}{3}-\frac{3At^2}{2}-Bt\big]_{0}^1=\frac{2}{3}-\frac{3A}{2}-B$

Aπό το σύστημα $\displaystyle \displaystyle{\begin{cases}A=\frac{2}{3}+\frac{3A}{2}-B \\B=\frac{2}{3}-\frac{3A}{2}-B \end{cases}}$ έχουμε $\displaystyle \diplaystyle{A=-\frac{4}{15},B=\frac{8}{15}}$

και επομένως $\displaystyle \displaystyle{f(x)=2x^2+\frac{4}{5}x-\frac{8}{15}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 09, 2017 11:09 am**

Γιώργος Απόκης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 10:44 am
Λίγο διαφορετικά

Έστω $\displaystyle{A=\int_{-1}^0f(t)dt,~~B=\int_0^1f(t)dt}$ , τότε έχουμε ότι $\displaystyle f(x)=2x^2-3Ax-B$
...

Γιώργο, ομολογώ ότι δεν βλέπω την διαφορά εκτός αν θεωρήσουμε την μετονομασία του

σε

ουσιστική.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 09, 2017 11:15 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 11:09 am

Γιώργος Απόκης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 10:44 am
Λίγο διαφορετικά

Έστω $\displaystyle{A=\int_{-1}^0f(t)dt,~~B=\int_0^1f(t)dt}$ , τότε έχουμε ότι $\displaystyle f(x)=2x^2-3Ax-B$
...
Γιώργο, ομολογώ ότι δεν βλέπω την διαφορά εκτός αν θεωρήσουμε την μετονομασία του σε ουσιστική.

Καλημέρα. Πράγματι, δεν υπάρχει καμία ουσιαστική διαφορά! Φυσικά και δεν εννοούσα τη διαφορά στο συμβολισμό,

βιάστηκα να γράψω τη λύση μου...

mathematica.gr

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης