Με δοθείσα αφορμή (Data occasione)
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 01, 2023 11:53 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις 
με αντίστοιχους τύπους:
και
των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:
Να δειχθεί ότι τα χωρία με πράσινο χρώμα έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο με εκείνο που έχει χρώμα θαλασσί.
Αφορμή: viewtopic.php?f=54&t=73342
με αντίστοιχους τύπους: και
των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:
- Σχέση εμβαδών 1.png (29.95 KiB) Προβλήθηκε 2585 φορές
Αφορμή: viewtopic.php?f=54&t=73342
. Τα σημεία τομής της 
με τη 
είναι τα 
και 
. Ακόμη, οι τετμημένες των σημείων τομής της 
![\displaystyle{
g(x) = \begin{cases}
\dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad x \ge 2 \\[0.1in]
1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad x <2 \\[0.12in]
\end{cases}
\qquad \text{\textgreek{και}} \qquad
\bigl| g(x) \bigr| =
\begin{cases}
\dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad &x\ge \dfrac{2\sqrt{15}}{3} \\[0.1in]
5 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{15}}{3} > x \ge 2 \\[0.1in]
\dfrac{3x^2}{4} - 1, \quad &2 > x \ge \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[0.1in]
1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{3}}{3} > x \ge 0
\end{cases}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5467085214415a9c202102ce79e90929.png "\displaystyle{
g(x) = \begin{cases}
\dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad x \ge 2 \\[0.1in]
1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad x <2 \\[0.12in]
\end{cases}
\qquad \text{\textgreek{και}} \qquad
\bigl| g(x) \bigr| =
\begin{cases}
\dfrac{3x^2}{4} - 5, \quad &x\ge \dfrac{2\sqrt{15}}{3} \\[0.1in]
5 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{15}}{3} > x \ge 2 \\[0.1in]
\dfrac{3x^2}{4} - 1, \quad &2 > x \ge \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\[0.1in]
1 - \dfrac{3x^2}{4}, \quad &\dfrac{2\sqrt{3}}{3} > x \ge 0
\end{cases}
}")
![\displaystyle{
\begin{aligned}
E_{\text{\textgreek{πράσινο}}} = \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x
+ \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x
&= \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \Biggl( 1 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \,\mathrm{d}x
+ \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 5 \Biggr) \,\mathrm{d}x \\[0.1in]
&= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3}
+ \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3}
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/781d96f472df9f78217583107f228541.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
E_{\text{\textgreek{πράσινο}}} = \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x
+ \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \bigl| g(x) \bigr| \,\mathrm{d}x
&= \int_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3} \Biggl( 1 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \,\mathrm{d}x
+ \int_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3} \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 5 \Biggr) \,\mathrm{d}x \\[0.1in]
&= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_\frac{2}{3}^\frac{2\sqrt{3}}{3}
+ \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_\frac{2\sqrt{15}}{3}^\frac{10}{3}
\end{aligned}
}")
![\displaystyle{
\begin{aligned}
E_{\text{\textgreek{θαλασσί}}} = \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x
&= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x \\[0.1in]
&= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 1 \Biggr) \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \Biggl(5 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \, \mathrm{d}x \\[0.1in]
&= -\Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 - \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \\[0.1in]
&= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}_2 + \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]^{2}_{\frac{2\sqrt{15}}{3}}
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/0478d7f681873a6d819ae4be7da389f3.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
E_{\text{\textgreek{θαλασσί}}} = \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x
&= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \bigl| g(x) \bigr| \, \mathrm{d}x \\[0.1in]
&= \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 \Biggl( \dfrac{3x^2}{4} - 1 \Biggr) \, \mathrm{d}x + \int_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \Biggl(5 - \dfrac{3x^2}{4} \Biggr) \, \mathrm{d}x \\[0.1in]
&= -\Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^2 - \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]_{2}^{\frac{2\sqrt{15}}{3}} \\[0.1in]
&= \Biggl[ x - \dfrac{x^3}{4} \Biggr]^{\frac{2\sqrt{3}}{3}}_2 + \Biggl[ \dfrac{x^3}{4} - 5x \Biggr]^{2}_{\frac{2\sqrt{15}}{3}}
\end{aligned}
}")
