mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 03, 2011 4:52 pm**

δινεται $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}{e^{t^2}\,dt}$
Zητείται μονοτονία και κοίλα της

.
H εφαπτομένη στο x_0=1

.
το $\mathop{\lim}\limits_{x\to-\infty} f(x)$ .
Το εμβαδό μεταξύ συνάρτησης απο 0 μεχρι 1.

συγγνώμη για τους τύπους εχω ενα πρόβλημα με το latex αλλα το λύνω σιγά σιγά

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 05, 2011 1:47 am**

Καλησπέρα dennys...ένα ξαδελφάκι της είναι εδώ

viewtopic.php?f=54&t=14407

και μία προσπάθεια....νυχτερινή με τις συνέπειες της....

Α) Είναι η

παραγωγίσιμη με ${f}'(x)={{e}^{{{x}^{2}}}}>0$ άρα γνήσια αύξουσα στο R με ${f}''(x)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}$ οπότε ${f}''(x)>0,\,\,\,x>0$ άρα κυρτή στο $[0,\,\,+\infty )$ και

${f}''(x)<0,\,\,\,x<0$ άρα κοίλη στο $(-\infty ,\,\,0]$

Β) Η εφαπτομένη της στο $(1,\,f(1))$ είναι αφού f(1)=0

και

είναι $y-0=e(x-1)\Leftrightarrow y=ex-e$

Γ) Επειδή είναι $f(x)=\int\limits_{1}^{0}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt+\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}}dt$ για x<0

έχουμε $x\le t\le 0$ οπότε και ${{x}^{2}}\ge {{t}^{2}}\ge 0$ άρα ${{e}^{{{x}^{2}}}}\ge {{e}^{{{t}^{2}}}}\ge 1$ επομένως

$\int\limits_{x}^{0}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}dt\ge \int\limits_{x}^{0}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}dt\ge \int\limits_{x}^{0}{dt}\Leftrightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}(-x)\ge \int\limits_{x}^{0}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}dt\ge -x$ και έτσι ${{e}^{{{x}^{2}}}}x\le -\int\limits_{x}^{0}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}dt\le x$ άρα ${{e}^{{{x}^{2}}}}x\le \int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{t}^{2}}}}}dt\le x$ και επειδή $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty$

είναι $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}=-\infty$ αφού $\frac{1}{x}\le \frac{1}{\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}}\le 0$ και $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\int\limits_{0}^{x}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}}=0$ …… οπότε $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$ (αφού το $\int\limits_{1}^{0}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}$ είναι αριθμός)

Δ) Το εμβαδό είναι $E=\int\limits_{0}^{1}{\left| f(x) \right|}dx$ και επειδή

γνήσια αύξουσα στο R για x<1

ισχύει

άρα

$E=-\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=-\int\limits_{0}^{1}{{x}'f(x)dx=}-[xf(x)]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}$ = $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{(}{{e}^{{{x}^{2}}}}{)}'dx=\frac{1}{2}[{{e}^{{{x}^{2}}}}]_{0}^{1}=\frac{1}{2}(e-1)$

Φιλικά Βασίλης

mathematica.gr

επαναληπτικη

επαναληπτικη

Re: επαναληπτικη