mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 16, 2011 9:34 pm**

Καλησπέρα σε όλους...
Επειδή σήμερα υπάρχει λίγος ελεύθερος χρόνος παραθέτω μια άσκηση που κατασκεύασα πέρσι τέτοιον καιρό, επηρεασμένος από θέμα συναδέλφου (ας με συγχωρήσει, δε θυμάμαι ποιό είναι για να αναφέρω το όνομά του) εδώ στο

.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\begin{cases} \int_{x}^{x^{2}}{\frac{1}{lnt}dt} & \text{ if } x>1 \\ ln2& \text{ if } x=1 \end{cases}$

Να αποδείξετε ότι:

α) ισχύει $xln2\leq f(x)\leq x^{2}ln2$ , για κάθε $x\geq 1$ .

β) η συνάρτηση

είναι συνεχής στο σημείο $x_{0}=1$ .

γ) η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

δ) υπάρχει μοναδικός αριθμός $\alpha \epsilon (1,+\propto)$ τέτοιος, ώστε $\int_{2}^{\alpha ^{2}}{\frac{1}{lnt}dt}=2011+\int_{2}^{\alpha}{\frac{1}{lnt}dt}$ .

Ελπίζω να φανεί χρήσιμη στην προετοιμασία των μαθητών σας για τις φετινές εξετάσεις και θα χαρώ να ακούσω τις παρατηρήσεις σας... Τώρα ας χαρούμε τα παιχνίδια που ξεκινάνε σε λίγο...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 17, 2011 1:38 pm**

....Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα... μιά προσπάθεια στο πολυ ενδιαφέρον θέμα του συνονοματου....

α) Επειδή ισχύει $1<x<t<{{x}^{2}}$ και $t\ln t>0$ θα ισχύει ότι $\frac{x}{t\ln t}<\frac{t}{t\ln t}<\frac{x}{t\ln t}$ οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε $\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{x}{t\ln t}dt}<\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{t}{t\ln t}dt}<\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{{{x}^{2}}}{t\ln t}dt}$

και ισοδύναμα προκύπτει $x\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}<f(x)<{{x}^{2}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}\Leftrightarrow x[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}<f(x)<{{x}^{2}}[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}$

επομένως $x(\ln (\ln {{x}^{2}})-\ln (\ln x))<f(x)<{{x}^{2}}(\ln (\ln {{x}^{2}})-\ln (\ln x))$ και άρα $x\ln 2<f(x)<{{x}^{2}}\ln 2$

β) Επειδή $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x\ln 2)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}\ln 2)=\ln 2$ από κριτήριο παρεμβολής έχουμε άρα f συνεχής στο 1

γ) Η $f(x)=-\int\limits_{x}^{2}{\frac{1}{\ln t}dt}+\int\limits_{2}^{{{x}^{2}}}{\frac{1}{\ln t}dt}$ οπότε παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=-\frac{1}{\ln x}+\frac{2x}{\ln {{x}^{2}}}=\frac{x}{\ln x}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}$ που για x>1

είναι

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[1,\,\,+\infty )$

δ) Επειδή $f(x)>x\ln 2,\,\,\,\,x>1$ ισχύει $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ γιατί $0<\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{x\ln 2}$ και από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=0$ και….

Άρα το σύνολο τιμών της

είναι $f([1,\,\,+\infty ))=[f(1),\,\,+\infty )=[\ln 2,\,\,+\infty )$ οπότε υπάρχει $a\in (1,\,\,+\infty )$ ώστε

$f(a)=2011\Leftrightarrow \int\limits_{a}^{{{a}^{2}}}{\frac{1}{\ln t}dt}=2011\Leftrightarrow \int\limits_{a}^{2}{\frac{1}{\ln t}dt}+\int\limits_{2}^{{{a}^{2}}}{\frac{1}{\ln t}dt}=2011$ ….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 17, 2011 1:53 pm**

Βασίλη καταπληκτική άσκηση, πρέπει κάποιος να το πει και ας είναι αυτονόητο!!

Νομίζω ότι είσαι εντός του πνεύματος των Πανελληνίων!!

Και η λύση άριστη Βασίλη!

Καλό Πάσχα

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 17, 2011 4:18 pm**

Καλησπέρα από το βροχερό Λονδίνο, συγγνώμη επηρεάστηκα από τον καιρό, από τη βροχερή Λαμία...

Μετά από πολύ ψάξιμο (ουφ!!!) βρήκα την πηγή της έμπνευσης... Ήταν αυτό το post της Φωτεινής για τον καφέ μας όπως αναφέρει viewtopic.php?f=54&t=5667 με λύση από έναν ακόμη Βασίλη του ιστότοπου. Το αναφέρω διότι το θεωρώ υποχρέωση μου και επειδή μπορεί να βοηθήσει και κάποιον άλλο συνάδελφο στην κατασκευή κάποιου θέματος...
Από το χώρο αυτό έχω πάρει πάρα πολλά σε υλικό και γνώσεις και ευχαριστώ όλους τους συναδέλφους για τη συμμετοχή τους σε αυτό. Το ελάχιστο που μπορώ να κάνω είναι η αναφορά στις πηγές μου.

Ευχαριστώ τον άλλο συνονόματο για το χρόνο που αφιέρωσε για να παρουσιάσει την άρτια λύση που βλέπουμε!!!

P.S. Μάκη σε ευχαριστώ, αλλά για να είμαι ειλικρινής το πρώτο ερώτημα (κατασκευή δηλαδή ανισότητας με τον τρόπο αυτό) κατά την ταπεινή μου γνώμη δεν είναι στην προτεραιότητα των προτιμήσεων της επιτροπής. Τα υπόλοιπα όμως (συνέχεια σε σημείο, μονοτονία και σύνολο τιμών) είναι συνηθισμένα και δημοφιλή ερωτήματα στις εξετάσεις. Τις επόμενες μέρες θα προσπαθήσω, γιατί είναι τεράστια η πίεση του χρόνου πλέον, να ανεβάσω ορισμένα γενικά θέματα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 17, 2011 4:32 pm**

Βασίλη αποκλείεις το πρώτο υποερώτημα να το δεις στις εξετάσεις; Εγώ νομίζω ότι είναι πολύ καλό θέμα, με το κάτι παραπάνω που συνηθίζεται να βλέπουμε, ότι πρέπει για τους υποψήφιους μαθητές που προσδοκούν ένα πολύ καλό βαθμό...

Και πάλι μπράβο, από την σύνθεση των δυνάμεωνβγαίνουν πραγματικά πολύ καλές προσπάθειες και αυτό είναι πόντος για το mathematica!

(Μην παρεξηγηθώ, δεν λέω ότι είναι υποψήφιο θέμα ούτε SOS θέμα, αλλά ένα όμορφο θέμα που ταιριάζει στο στυλ Πανελληνίων, δεν είμαστε μάντεις ούτε διαβάζω κάρτες ταρώ!!)

Σημείωση: Όσο για την βροχή και τον αέρα, στην Ζάκυνθο καλά κρατεί ,2 ημέρες ασταμάτητα!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 17, 2011 4:48 pm**

Μετά από τόσα χρόνια εμπειρίας σε θέματα εξετάσεων (αρκετά λιγότερα φυσικά από άλλους συναδέλφους εδώ μέσα) δεν αποκλείω τίποτα Μάκη, απλά καταθέτω την άποψη μου για το ερώτημα (α)...

Κρατάω και συνυπογράφω την πολύ σημαντική και εύστοχη παρατήρησή σου σχετικά με τα υποψήφια και S.O.S. θέματα, εκφράσεις τις οποίες με όλο το σεβασμό για αυτούς που τις χρησιμοποιούν, προσωπικά τις αποφεύγω.

mathematica.gr

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2

Re: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ 2