mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2017 5:27 pm**

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \to R$ ώστε f(1)=1

. Αν

μια αρχική της

ώστε $\displaystyle{f(x)-F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2}$ .

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία

3) Αν $h: (0,+\infty) \to R^{*}$ συνεχής συνάρτηση με $\displaystyle{f(h(2))< \frac{2-e^2}{e^2}}$ και

μια αρχική της

ώστε

. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{f(H(x))>\frac{2}{e}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2017 7:20 pm**

Για τα πρώτα δύο
$f(x)-F(x)=(x^{3})/3-x^{2}$
Παραγωγιζοντας αυτή την σχέση παίρνουμε
$f'(x)-f(x)=x^{2}-2x\rightarrow ×e^{-x}$
$(e^{-x}f(x))'=(-e^{-x}x^{2})'$
$e^{-x}f(x)=e^{-x}x^{2}+c$
c=2/e Άρα $f(x)=-x^{2}+2e^{x-1}$
B)παραγωγιζουμε την f
$f'(x)=-2x+2e^{x-1}=2(e^{x-1}-x)$
Από την γνωστή ανισότητα
$lnx\leq x-1\rightarrow x=e^{x-1}$
$e^{x-1}-x\geq 0$
Άρα η f είναι γνησιως αύξουσα

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2017 7:44 pm**

...και για το (3)...

Αφού το σύνολο αφίξεως της $\displaystyle{h}$ είναι το $\displaystyle{\mathbb{R^*}$ , ισχύει $\displaystyle{h(x) \neq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ . Όμως, η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ . Έχουμε όμως $\displaystyle{f(h(2))<\frac{2-e^2}{e^2} \Leftrightarrow f(h(2))<f(-1) \leftrightarrow h(2)<-1<0}$ , αφού η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, είναι $\displaystyle{h(x)<0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ και επειδή η $\displaystyle{H}$ είναι μια αρχική της $\displaystyle{h}$ ισχύει $\displaystyle{h(x)=H'(x)<0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , οπότε η $\displaystyle{H}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ . Έτσι, έχουμε:
$\displaystyle{f(H(x))>\frac{2}{e} \Leftrightarrow f(H(x))>f(0) \Leftrightarrow H(x)>0 \Leftrightarrow H(x)>H(1) \Leftrightarrow \boxed{x\in (0,1)}}$ .

mathematica.gr

Zoom

Zoom

Re: Zoom

Re: Zoom