mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 12, 2009 12:46 pm**

Έστω η συνεχής συνάρτηση στο R ώστε για κάθε πραγματικό αριθμό χ, να ισχύει ${e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right) \ge x + 1$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \int\limits_0^e {f\left( x \right)dx} \ge \frac{3}{2}$

Αργότερα θα ποστάρω μία σχολική εκδοχή

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 12, 2009 2:35 pm**

Ελπιζω να μην εχω λαθος.

Ισχυει γενικα, για

παραγωγισιμη και γνησιως μονοτονη στο [a,b]

οτι

$\displaystyle \int_a^b p(x) dx + \int_{p (a)}^{p (b)} p^{-1} (x) dx = b p(b) - a p(a)$ . Θετουμε $g(x) \equiv e^x + x - 1, \ h(x) \equiv g^{-1} (x)$ και εχουμε, απο την εκφωνηση, οτι $f(x) \geq h(x)$ .

Αφου h(0) = 0

και

, εχουμε (απο την προηγουμενη ταυτοτητα)

$\displaystyle \int_0^e f(x) dx \geq \int_0^e h(x) dx = e - \int_0^1 g(x) dx = e - \left[e^x + \frac{x^2}{2} - x \right]_0^1 = 3/2$ .

Δημητρης Σκουτερης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 12, 2009 6:06 pm**

Δημήτρη ακόμη μία πολύ ωραία λύση σου.
Η άσκηση είναι από έναν ινδό(νομίζω) στο mathlinks η οποία είνα λυμένη από τον Kent Merryfield

Είναι ΄΄ιδιου στυλ με την άσκηση που δημοσίευσε ο Θωμάς εδώ viewtopic.php?f=56&t=2183 (και ζοριζόμουν αφάνταστα ώσπου ο φίλος Κυριαζής την έλυσε.

Που βασίζονται οι ασκήσεις αυτές και πως μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιες; Στο ερώτημα αυτό απάντησε ο Kent Merryfield: στην ανισότητα του "νέου" . Δείτε την σχολική έκδοση στο συννημένο

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 12, 2009 10:58 pm**

Η συγκεκριμένη άσκηση είναι όντως διδακτικού χαρακτήρα . Εύστοχα τοποθετήθηκε στα θέματα με απαιτήσεις διότι το Βii δεν είναι τέταρτο αλλά πέμπτο θέμα εξετάσεων!!!! Με αρχική βέβαια εκφώνηση είναι άπιαστο, αν δεν το έχεις ξαναδεί.

mathematica.gr

Άσκηση διδακτικού χαρακτήρα

Άσκηση διδακτικού χαρακτήρα

Re: Άσκηση διδακτικού χαρακτήρα

Re: Άσκηση διδακτικού χαρακτήρα

Re: Άσκηση διδακτικού χαρακτήρα