mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 08, 2010 1:44 pm**

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις... $\color{red}\bf {f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ...,αν και μόνο αν για κάθε... $\color{red}\bf{x,y,z \in \mathbb{R}}$ ... με... $\color{red}\bf{x-2y+z=0}$

ισχύει... $\color{red}\bf{f(x)-2f(y)+f(z)=0}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 08, 2010 2:53 pm**

Μια σκέψη:
Ας θέσουμε g(x)=f(x)-f(0). Tότε g(0)=0 και η g διατηρεί την ιδιότητα της f. Tότε για κάθε x, y στους πραγματικούς
g(x-y)+g(x+y)=2g(x) οπότε για x=y προκύπτει g(2x)=2g(x).
Ακόμα από την ιδιότητα της g g(2x)+g(2y)=2g(x+y) οπότε g(x)+g(y)=g(x+y). Δηλαδή η g είναι η συνάρτηση Cauchy. Άρα g(x)=ax, οπότε
f(x)=ax+b.

mathematica.gr

Εύρεση f

Εύρεση f

Re: Εύρεση f