mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 23, 2019 8:29 pm**

Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 24, 2019 10:59 am**

$\displaystyle{D_f=(0,1)\cup (1,+\infty)}$

Ευκολα τα ορια στο $\displaystyle{0+}$ και στο $\displaystyle{+\infty}$ είναι αντίστοιχα το $\displaystyle{0}$ kai $\displaystyle{1}$ αντίστοιχα

το οριο στο $\displaystyle{1}$ μετα 2 DLH είναι το $\displaystyle{1/2}$

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1/x}{ln^2x}-\frac{1}{(x-1)^2}}$ δείχνουμε ότι $\displaystyle{f'(x)>0}$ για $\displaystyle{x>1}$ αρκεί $\displaystyle{\frac{x-1}{\sqrt{x}}>lnx}$
ή $\displaystyle{y-1/y-2lny=g(y)>0}$ oπου $\displaystyle{\sqrt{x}=y\ge 1}$

$\displaystyle{g'=(1-\frac{1}{y})^2>0}$

$\displaystyle{g(y)>g(1)=0}$

για $\displaystyle{x<1}$ αρκεί $\displaystyle{\frac{-x+1}{\sqrt{x}}>-lnx}$ ή $\displaystyle{-y+1/y+2lny=-g(y)}$ oπου $\displaystyle{\sqrt{x}=y\le 1}$ με την αρα $\displaystyle{g}$ φθίνουσα και επειδή $\displaystyle{y<1}$ πάλι $\displaystyle{g(y)>0}$

Αρα συνολο τιμών είναι το $\displaystyle{(0,1/2)\cup(1/2,1)}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 24, 2019 7:36 pm**

Αφού ευχαριστήσω τον Ροδόλφο για την περίτεχνη προσέγγιση ( και αποδεχθώ τον υπολογισμό των ορίων ! ) ,

ας γράψω μία πιο "σχολική" :

Αρκεί να δείξουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (0,1)

και $(1,+\infty)$

Επειδή : $f'(x)=\dfrac{1}{xln^2x}-\dfrac{1}{(x-1)^2}$ , αρκεί να είναι : $(x-1)^2>xln^2x , \forall x>0 , x\neq 1$ $(\ast)$

Θεωρώ την συνάρτηση : g(x)=(x-1)^2-xln^2x , x>0