mathematica.gr

Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.



1. Έχει η εξίσωση



αρνητικές ρίζες;


2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;


3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;


4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .


5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:

και για κάθε .

Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.


6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.



1. Έχει η εξίσωση



αρνητικές ρίζες;


2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;


3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;


4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .


5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:

και για κάθε .

Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.


6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;

1. Έστω ότι έχει.

Η εξίσωση γράφεται , άτοπο.

Άρα, δεν έχει αρνητικές λύσεις.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.


2. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά πίνακα τους αριθμούς από το 1 έως το 72 με κάποια σειρά γνωστή μόνο σε αυτόν. Έπειτα για κάθε μία από τις δεκαοχτώ στήλες πολλαπλασίασε τους τέσσερεις αριθμούς της στήλης μεταξύ τους και υπολόγισε το άθροισμα των ψηφιών του γινομένου. Μπορούν και τα δεκαοχτώ αθροίσματα να είναι ίσα;

'Η πολύ εύκολη ή χάνω κάτι. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ιδιότητα: Κάθε πολ. του έχει άθροισμα ψηφίων πολ. του . Τα πολλαπλάσια του από το - είναι σε πλήθος. Ενώ, τα πολλαπλάσια του είναι . Όμως, σε αυτά εντάσσονται και τα πολ του . Επομένως, τα πολ του που δεν διαιρούνται με το είναι σε αριθμό. Είναι προφανές ότι για να διαιρείται το γινόμενο των τεσσάρων αριθμών μιας στήλης με το , πρέπει είτε τουλάχιστον ένας όρος να διαιρείται με το είτε τουλάχιστον δύο να διαιρούνται με το . Έχουμε ζεύγη του και πολλαπλάσια του (όπως δείξαμε). Όμως είναι . Συνεπώς θα υπάρχουν τουλάχιστον γινόμενα που δεν θα διαιρούνται με το και άρα το άθροισμα των ψηφίων τους δεν θα είναι πολ. του και συνεπώς θα είναι διαφορετικό από των άλλων. Άρα η απάντηση είναι αρνητική.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017

Θέματα της 2ης φάσης για την 11η τάξη. Διάρκεια εξέτασης υπολογισμένη για 240 λεπτά.

3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;

Έστω η ακτίνα του κύκλου, το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου και το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου. Θα δείξω ότι

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:

και για κάθε .

Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.

Έχει περίοδο διότι


.

Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:

και για κάθε .

Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.

Έχει περίοδο διότι


.

Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.

Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;

Al.Koutsouridis έγραψε:
Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;

Όχι! Π.χ. η συνάρτηση Dirichlet ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος, αλλά αυτή δεν έχει ελάχιστη περίοδο.

Al.Koutsouridis έγραψε:

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Al.Koutsouridis έγραψε:
5. Η συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και ικανοποιεί τις σχέσεις:

και για κάθε .

Να δείξετε ότι η είναι περιοδική συνάρτηση.

Έχει περίοδο διότι


.

Μάλλον απλή και μάλλον έχουμε δει παρόμοια στο φόρουμ.

Μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιά είναι η ελάχιστη περίοδος για τα δεδομένα του προβλήματος;

Οχι δεν μπορούμε.
Να σημειώσω ότι οι δοσμένες γράφονται γιατί κλπ
Αρα η συνάρτηση έχει περιόδους τα .
Μπορούμε να δείξουμε οτι έχει περίοδο και το που ειναι ο ΜΚΔ των .(ωραία άσκηση)
Αν λοιπόν είναι η ελάχιστη θετική περίοδος (αν υπάρχει)τότε το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι

ΠΡΟΣΟΧΗ.Δεν έχουν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις ελάχιστη θετική περίοδο
π.χ η
έχει για περιόδους της ολους τους ρητούς.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017

6. Κάθε ακέραιος αριθμός στον άξονα των αριθμών χρωματίζεται με ένα από δυο χρώματα, άσπρο ή μαύρο. Εξάλλου οι αριθμοί 2016 και 2017 χρωματίστηκαν με διαφορετικό χρώμα. Θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν;

Αφού χρωματίζουμε τους ακέραιους με δύο μόνο χρώματα, το θα έχει το ίδιο χρώμα ή με το ή με το . Έχουμε λοιπόν δύο περιπτώσεις:

α) Αν το και το έχουν το ίδιο χρώμα, π.χ. είναι χρωματισμένα Άσπρα, τότε το είναι χρωματισμένο Μαύρο.
Για να μην υπάρχουν τρεις ακέραιοι του ίδιου χρώματος με άθροισμα , θα πρέπει να είναι χρωματισμένοι ως εξής:
. Θα πρέπει ακόμα: .
Το όμως δεν μπορεί να είναι Άσπρο, γιατί οι αριθμοί είναι Άσπροι με άθροισμα ,
δεν μπορεί ούτε να είναι χρωματισμένο Μαύρο, γιατί οι αριθμοί είναι Μαύροι με άθροισμα .
Σ'αυτή την περίπτωση λοιπόν θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.

β) Αν το και το έχουν το ίδιο χρώμα, π.χ. είναι χρωματισμένα Άσπρα, τότε το είναι χρωματισμένο Μαύρο.
Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θα πρέπει οι ακέραιοι να είναι χρωματισμένοι ως εξής:
και συνεχίζοντας, πρέπει .
Το δεν μπορεί να είναι Άσπρο, γιατί οι αριθμοί είναι Άσπροι με άθροισμα ,
δεν μπορεί όμως να είναι χρωματισμένο Μαύρο, γιατί οι αριθμοί είναι Μαύροι με άθροισμα .
Και σ'αυτή την περίπτωση λοιπόν θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.

Άρα σε κάθε περίπτωση θα βρεθούν οπωσδήποτε τρεις ακέραιοι αριθμοί ίδιου χρώματος, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών 2016-2017



4. Δίνεται η τριγωνική πυραμίδα με ορθές επίπεδες γωνίες στην κορυφή ,στην οποία . Να δείξετε ότι το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι .

Ένας τρόπος λύσης είναι ο εξής: Παίρνουμε το επίπεδο ανάπτυγμα της πυραμίδας, ανοίγοντάς την στις ακμές της που συντρέχουν στην κορυφή C. Η συνέχεια εδώ.

Al.Koutsouridis έγραψε: 3. Κανονικό πεντάγωνο και κανονικό εικοσάγωνο είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. Πιο είναι μεγαλύτερο το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πενταγώνου ή το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του εικοσάγωνου;

Για κανονικό -γωνο (δεδομένης ακτίνας) ορίζουμε ως το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πολυγώνου. Δείξτε ότι . [Άρα .]

[Έχω μια αρκετά σύντομη λύση για το πιο πάνω. Ισχύει επίσης ότι για αλλά δεν έχω σύντομη λύση για αυτό.]

Demetres έγραψε: Για κανονικό -γωνο (δεδομένης ακτίνας) ορίζουμε ως το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του πολυγώνου. Δείξτε ότι .

Όπως φαίνεται στο σχήμα για κάθε πλευρά του -γώνου αντιστοιχούν πλευρές του -γώνου.
Αρκεί να δείξουμε ότι που ισχύει όταν η γωνία είναι αμβλεία.
Όμως αφού , αυτό θα ισχύει σε κάθε -γωνο.