mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 10, 2017 1:12 pm**

Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς a<b<c<d

με

ισχύει:
$\displaystyle{4\leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\leqslant \frac{a}{d}+\frac{d}{a}+2}$ Άγνωστη πηγή.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 9:54 am**

Ομογενοποιώντας, γράφουμε το μεσαίο μέλος ως $\displaystyle \left( a+b+c+d \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \right)$ (πολλαπλασιάζοντας τα άλλα δύο με

) και διαπιστώνουμε ότι η αριστερή ανισότητα είναι απλή εφαρμογή της Cauchy-Schwarz.

Για τη δεξιά ανισότητα, παραβλέπουμε το γεγονός ότι b < c

και παρατηρούμε ότι το μεσαίο μέλος είναι κυρτή συνάρτηση των b, c

, οπότε μεγιστοποιείται σε κάποια ακραία τιμή τους. Θέτοντας b = c = a

ή

παίρνουμε $\displaystyle 10 + 3 \left( \frac{a}{d} + \frac{d}{a} \right)$ , ενώ με b=a, c=d

παίρνουμε $\displaystyle 8 + 4 \left( \frac{a}{d} + \frac{d}{a} \right)$ που είναι μεγαλύτερο (και το δεξί μας μέλος).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 11:03 am**

Εχει άμεση σχέση με το
viewtopic.php?f=61&t=56785
Η ανισότητα στην παρακάτω μορφή έχει εμφανισθεί στην Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών το 1978 που έγινε στην
Τανσκένδη.

Αν $0< a\leq a_{1},a_{2}.....a_{n}\leq b$

τότε $(\sum_{i=1}^{n}a_{i})(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}})\leq n^{2}\dfrac{(a+b)^{2}}{4ab}$

Το βρήκα σε βιβλίο (μεταφρασμένο στα Ελληνικά) με θέματα από Ρωσικές Ολυμπιάδες.
Σε αυτό υπάρχουν δύο εξαιρετικές αποδείξεις.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 11, 2017 11:48 am**

Να σημειώσουμε ότι η παραπάνω ανισότητα που αναφέρει ο κ.Παπαδόπουλος είναι η ανισότητα P.Schweitzer και εμφανίζεται σε άρθρο του με τίτλο "An inequality concerning the arithmetic mean", 1914.

Άλλες παρόμοιες ανισότητες γενικεύσεις είναι των Polya-Szego, Metcalf-Dias, Kantorovich, όπως και προαναφέρθει.

Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να σκαρφιστούμε ένα παρόμοιο θέμα με το πρώτο πρόβλημα εδώ. Αλλά χρησιμοποιώντας το γινόμενο των παραστάσεων.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 9:08 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εχει άμεση σχέση με το
viewtopic.php?f=61&t=56785
Η ανισότητα στην παρακάτω μορφή έχει εμφανισθεί στην Πανρωσική ολυμπιάδα μαθηματικών το 1978 που έγινε στην
Τανσκένδη.

Αν $0< a\leq a_{1},a_{2}.....a_{n}\leq b$

τότε $(\sum_{i=1}^{n}a_{i})(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}})\leq n^{2}\dfrac{(a+b)^{2}}{4ab}$

Το βρήκα σε βιβλίο (μεταφρασμένο στα Ελληνικά) με θέματα από Ρωσικές Ολυμπιάδες.
Σε αυτό υπάρχουν δύο εξαιρετικές αποδείξεις.

Η δεύτερη απόδειξη είναι στην ουσία ιδία με την απόδειξη στην
τελευταία δημοσίευση μου στο
viewtopic.php?f=61&t=56785

Απλά χρειάζεται να θέσουμε $\lambda _{i}=\frac{1}{n},i=1,2,....n$

mathematica.gr

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα