mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm**

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (x,y)

για τα οποία ισχύει x+y^2+z^3 = xyz

, όπου

(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ere_dgcdxy)

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα P(x),Q(x)

με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε Q(0) =0

και

.
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)

ΘΕΜΑ 3
Έστω A B C D E F

κυρτό εξάγωνο τέτοιο ώστε το BCEF

να είναι παραλληλόγραμμο και το ABF

ισόπλευρο τρίγωνο.
Αν $BC = 1, \ AD = 3, \ CD+DE = 2$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του A B C D E F .

(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... quilateral)

ΘΕΜΑ 4
Έστω μια σκακιέρα $8\times 8$ που αποτελείται από λευκά κελιά.Σε μια κίνηση ο Δημήτρης μπορεί να επιλέξει ένα $2\times 2$ τετράγωνο της σκακιέρας αυτής που αποτελείται μόνο από λευκά κελιά και να χρωματίσει δυο κελιά από αυτό, τα οποία θα βρίσκονται στην διαγώνιο του. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαύρων κελιών που μπορούν να χρωματιστούν από τον Δημήτρη;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 15, 2020 9:48 pm**

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων για τα οποία ισχύει , όπου
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... ere_dgcdxy)

Αφού $\left ( x,y \right )=z$ τότε x=az

και

με

.Με αντικατάσταση παίρνουμε και a+zb^2+z^2=z^2ab

το

άρα

με

.Με αντικατάσταση παίρνουμε την c+b^2+z=z^2bc

άρα είναι τριώνυμο ως προς b με διακρίνουσα $\Delta =z^4c^2-4c-4z$ όμως για $z\geq 2$ ισχύει (z^2c-1)^2< z^4c^2-4z-4c< (z^2c)^2

άρα το

. Με αντικατάσταση στην αρχική παίρνουμε $x+y^2+1=xy\Rightarrow (y-1)(y-x+1)=-2$ όμως $y\geq 1$ άρα έχουμε τις έξης περιπτώσεις y-1=1,y-x+1=-2

ή

.Λύνοντας τα συστήματα οι μοναδικές λύσεις είναι (x,y,z)=(5,2,1),(5,3,1)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 16, 2020 3:28 pm**

Για το 2 καποια λυση χωρις να γινουν ολες αυτες οι πραξεις??

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 16, 2020 5:08 pm**

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε και .
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)

Έστω $\deg P= m$ και $\deg Q=n$ με m,n

φυσικούς. Τότε, $\deg P(Q(x))=mn$ , άρα mn=15

που δίνει

.

$\rightarrow$ Αν m=1,n=15

τότε το

είναι μονικό και γραμμικό. Επίσης, για x=0

η δοσμένη δίνει P(0)=-15!

, επομένως P(x)=x-15!

και $Q(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-15)+15!$ .

$\rightarrow$ Αν m=15,n=1

, τότε το

είναι μονικό και γραμμικό, αλλά και Q(0)=0

, οπότε

και $P(x)=(x-1)(x-2) \cdots (x-15)$ .

$\rightarrow$ Αν m=3,n=5

, τότε το

είναι τρίτου και το

πέμπτου βαθμού. Για $x \in \{1,2, \ldots, 15 \}$ η δοσμένη δίνει $P(Q(1))=P(Q(2))=\ldots=P(Q(15))=0$ . Όμως, το

είναι τρίτου βαθμού, οπότε έχει το πολύ

πραγματικές ρίζες. Άρα, τουλάχιστον

από τα

είναι ίσα.

WLOG, έστω $Q(1)=Q(2)=\ldots=Q(12)=c$ . Τότε, το πολυώνυμο R(x)=Q(x)-c

έχει $\deg R=\deg Q=3$ και έχει

διαφορετικές ρίζες, τις $1,2, \ldots, 12$ , άτοπο.

Όμοια, αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση m=5,n=3

.

Edit: Η λύση έχει λάθος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 16, 2020 5:42 pm**

stamas1 έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 3:28 pm
Για το 2 καποια λυση χωρις να γινουν ολες αυτες οι πραξεις??

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2026089

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 17, 2020 5:18 pm**

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλα τα μονικά πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές τέτοια ώστε και .
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/communi ... x__x1x2x15)

Θα κάνω λύση με μόνη υπόθεση ότι τα πολυώνυμα έχουν συντελεστές στο $\mathbb{C}$

Έστω $\deg P= k$ και $\deg Q=l$ όπου k,l

φυσικοί..Τότε, $\deg P(Q(x))=kl$ , άρα kl=15

.Η περίπτωση που το ένα είναι

είναι εύκολη και την παραλείπω.Εχουμε λοιπόν τις περιπτώσεις

1) k=3,l=5

Το

θα έχει

ρίζες έστω τις $a_{i},i=1,2,3$
Επειδή
P(Q(n))=0 ,n=1,2,..15

Θα υπάρχουν
$r_{ij},i=1,2,3,j=1,2,3,4,5$
που θα είναι μια αναδιάταξη των $\left \{ 1,2,..,15 \right \}$
ώστε
$Q(x)=a_{i}+c(x-r_{i1})(x-r_{i2})(x-r_{i3})(x-r_{i4})(x-r_{i5}),c\in \mathbb{C},c\neq 0$
για i=1,2,3

Από σχέσεις Vieta έχουμε ότι η παράσταση
$\sum_{j=1}^{5}(r_{ij})^{2}$
θα είναι ανεξάρτητη του

.
Αυτό σημαίνει ότι το

διαιρεί τον αριθμό
$\sum_{m=1}^{15}m^{2}=\frac{15.16.31}{6}=40.31$
ΑΤΟΠΟ.

2) k=5,l=3

Το

θα έχει

ρίζες έστω τις $a_{i},i=1,2,3,4,5$
Επειδή
P(Q(n))=0 ,n=1,2,..15

Θα υπάρχουν $r_{ij},i=1,2,3,4,5,j=1,2,3$
που θα είναι μια αναδιάταξη των $\left \{ 1,2,..,15 \right \}$
ώστε
$Q(x)=a_{i}+c(x-r_{i1})(x-r_{i2})(x-r_{i3}),c\in \mathbb{C},c\neq 0$
για

Από σχέσεις Vieta έχουμε ότι η παράσταση
$\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})^{2}$
θα είναι ανεξάρτητη του

.
Επειδή
$\sum_{m=1}^{15}m^{2}=\frac{15.16.31}{6}=40.31$
θα είναι
$\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})^{2}=8.31=248$
Επίσης και η παράσταση
$\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})$
θα είναι ανεξάρτητη του

.
Επειδή
$\sum_{m=1}^{15}m=\frac{15.16}{2}=120$
θα έχουμε
$\sum_{j=1}^{3}(r_{ij})=24$

Παίρνουμε την τριάδα που περιέχει το

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι είναι η πρώτη.
Θα είναι
$15+r_{12}+r_{13}=24,225+(r_{12})^{2}+(r_{13})^{2}=248$
η
$r_{12}+r_{13}=9,(r_{12})^{2}+(r_{13})^{2}=23$
που τετριμένα είναι αδύνατη ΑΤΟΠΟ.

Τελικά ένα από τα δύο πολυώνυμα θα έχει βαθμό

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 27, 2020 5:19 pm**

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 5:32 pm
ΘΕΜΑ 3
Έστω κυρτό εξάγωνο τέτοιο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο και το ισόπλευρο τρίγωνο.
Αν $BC = 1, \ AD = 3, \ CD+DE = 2$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του
(Από εδώ: https://artofproblemsolving.com/community/c1068820h2006728_area_computational_with_hexagon_parallelogram_and_equilateral)

Βάζω την ιδέα μου μόνο γιατί δεν έχω χρόνο τώρα μήπως βοηθήσει κάποιον να φτάσει στη λύση.
Υποθέτω ότι CDE=120^o

(ΔΕΝ μπορώ να το κάνω αυτό απλά προβάλλω τη σκέψη μου).
Παίρνω σημείο

ώστε το

παραλληλόγραμμο. Τότε AQ=BC=1

και

. Είναι άμεσο ότι και το AQEF

παραλληλόγραμμο και άρα QEC

ισόπλευρο (κάτι σαν μεταφορά/μετατόπιση του ABF

σκέφτηκα). Τώρα αφού CDE=120^o

τότε

εγγράψιμα και από θεώρημα Van Scooten QD=2

.
Τελικά

άρα

συνευθειακά και άρα AD//BC

.
Όπως ξεκίνησα έκανα μια υπόθεση που δεν έψαξα πολύ να δω αν ισχύει αλλά σε αυτή την περίπτωση συνδέονται ωραία τα δεδομένα. Δεν ξέρω καν αν αυτό οδηγήσει σε λύση θα ασχοληθώ αργότερα. Όποιος θέλει ας ασχοληθεί.

mathematica.gr

Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (10), Μεγάλοι