mathematica.gr

LXXXXIX Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
15 Μαρτίου 2026 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Μπορούμε άραγε να τοποθετήσουμε στις κορυφές και τα μέσα των ακμών ενός κανονικού οκτάεδρου από έναν φυσικό αριθμό από το έως το έτσι, ώστε όλοι οι αριθμοί να είναι διαφορετικοί και σε κάθε κορυφή τα είναι τοποθετημένος αριθμός, ίσος με το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών που βρίσκονται στα μέσω τον ακμών που συντρέχουν σε αυτήν την κορυφή; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 2. Έστω το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Στις πλευρές και διελέγχθηκαν σημεία και αντίστοιχα έτσι, ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην και η παράλληλη προς την . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 3. Ο Γιώργος και ο Νίκος παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Αρχικά γράφουν το ένα, ο καθένας στον δικό του πίνακα. Στη συνέχεια με την σειρά (ξεκινάει ο Γιώργος) αντικαθιστούν ο καθένας τον αριθμό του, πολλαπλασιάζοντάς τον είτε με το , είτε με το , εξάλλου μετά από κάθε κίνηση οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στον πίνακα πρέπει να είναι διαφορετικοί. Έστω πλήθος των φυσικών διαιρετών του αριθμού του Γιώργου μετά την στη κίνησή του και το πλήθος των φυσικών διαιρετών του αριθμού του Νίκου μετά την στη κίνησή του. Ως αποτέλεσμα του παιχνιδιού ο Γιώργος λαμβάνει σοκολατάκια. Για ποιο μέγιστο φυσικό αριθμό ο Γιώργος μπορεί να πράξει έτσι, ώστε εγγυημένα να λάβει τουλάχιστον σοκολατάκια ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Νίκος; (Ι. Μιχαϊλοβ)

Πρόβλημα 4. Ένα ξενοδοχείο έχει ορόφους, σε κάθε όροφο υπάρχουν μονόκλινα δωμάτια. Στο μαθηματικό συνέδριο προσήλθαν μαθηματικοί. Προέκυψε ότι σε κάθε μαθηματικό σε κάθε όροφο του αρέσει ακριβώς ένα δωμάτιο. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν όλοι οι μαθηματικοί στο ξενοδοχείο, ώστε στον καθένα να του αρέσει το δωμάτιό του, είναι άρτιος. (Β. Ρέτινσκιι)

Πρόβλημα 5. Η Άννα σκέφτηκε ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Με μία κίνηση η Μελίνα μπορεί να ονομάσει οποιοδήποτε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές και ως απάντηση η Άννα πρέπει ανακοινώσει στην Μελίνα τα ακόλουθα δυο γεγονότα:
επιτυγχάνεται άραγε η μέγιστη τιμή του και αν ναι, με τι είναι ίση.
επιτυγχάνεται άραγε η ελάχιστη τιμή του και αν ναι, με τι είναι ίση.
Η Μελίνα με την σειρά της θέλει να κάνει κάμποσες τέτοιος κινήσεις και ύστερα να ονομάσει ένα τέτοιο αριθμό , ώστε . Να αποδείξετε ότι η Μελίνα μπορεί να πράξει έτσι, ώστε εγγυημένα να πετύχει το ζητούμενο. (Η Μελίνα μόνη της αποφασίζει, πότε να σταματήσει να θέτει ερωτήσεις.) (Λ. Σατούνοβ)

Πρόβλημα 6. Η βάση κυρτής τετράπλευρης πυραμίδας είναι το τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιους και κανένα ζεύγος πλευρών του δεν είναι ίσα. Είναι γνωστό ότι οι εγγεγραμμένες σφαίρες των τετράεδρων και εφάπτονται. Να αποδείξετε ότι εγγεγραμμένες σφαίρες των τετράεδρων και εφάπτονται. (Α. Ντολεντένοκ)