mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 5:31 pm**

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f+6f'+12f''+8f'''

έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 5:39 pm**

Demetres έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.

Άμεσο από διαδοχικά Rolle στην

$\displaystyle{e^{\frac{x}{2}}f(x).}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 5:40 pm**

Demetres έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με τουλάχιστον πέντε διακεκριμένες ρίζες. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση έχει τουλάχιστον δύο διακεκριμένες ρίζες.

Γεια σου Δημήτρη. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g(x)=8e^{x/2} f(x)$ (η συνάρτηση βρίσκεται κατά τα κλασσικά και έτσι τη βρήκα)παρατηρούμε ότι οι ρίζες της

είναι ακριβώς οι ρίζες της

. Από το κανόνα γινομένου έχουμε ότι:

$\displaystyle{g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))}$

Συνεπώς η

έχει τουλάχιστον

διακεκριμένες ρίζες. Άρα απο Rolle η

έχει τουλάχιστον

διακεκριμένες ρίζες και κατά συνέπεια η g''

τουλάχιστον

και η

τουλάχιστον

. Όμως οι ρίζες της g'''

είναι ακριβώς οι ρίζες της:

$\displaystyle{f+6f'+12f''+8f'''}$

και κάπως έτσι τελειώσαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 5:42 pm**

Άμεσες απαντήσεις. Ας όψεται η Γ' Λυκείου.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 5:44 pm**

Demetres έγραψε:Ας όψεται η Γ' Λυκείου.

Πράγματι, το διαπίστωσα εχθές που κοιτούσα το θέμα.

Υ.Σ: Στην απάντηση διορθώθηκαν κάποια typos που έκανα γράφοντας γρήγορα την απάντηση.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 08, 2015 8:15 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g(x)=8e^{x/2} f(x)$ (η συνάρτηση βρίσκεται κατά τα κλασσικά και έτσι τη βρήκα)παρατηρούμε ότι οι ρίζες της είναι ακριβώς οι ρίζες της . Από το κανόνα γινομένου έχουμε ότι:

$\displaystyle{g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))}$

Συνεπώς η έχει τουλάχιστον διακεκριμένες ρίζες. Άρα απο Rolle η έχει τουλάχιστον διακεκριμένες ρίζες και κατά συνέπεια η τουλάχιστον και η τουλάχιστον . Όμως οι ρίζες της είναι ακριβώς οι ρίζες της:

$\displaystyle{f+6f'+12f''+8f'''}$

και κάπως έτσι τελειώσαμε.

Βλέπε εδώ

Ουδέν σχόλιο.

mathematica.gr

Putnam 2015/B1

Putnam 2015/B1

Re: Putnam 2015/B1

Re: Putnam 2015/B1

Re: Putnam 2015/B1

Re: Putnam 2015/B1

Re: Putnam 2015/B1