mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 26, 2016 11:15 pm**

Να δειχθεί ότι αν η

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}$

είναι μια συγκλίνουσα σειρά θετικών αριθμών, τότε η

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{n/(n+1)}}$

είναι επίσης συγκλίνουσα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2016 4:15 pm**

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για τον αριθμό $\displaystyle{{a_n}}$ :

$\bullet$ Αν $\displaystyle{{a_n} \le \frac{1}{{{2^{n + 1}}}},}$ τότε

$\displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} \le {\left( {\frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)^{\frac{n}{{n + 1}}}} = \frac{1}{{{2^n}}}.}$

$\bullet$ Αν $\displaystyle{{a_n} \ge \frac{1}{{{2^{n + 1}}}},}$ τότε

$\displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} = a_n^{1 - \frac{1}{{n + 1}}} = \frac{{{a_n}}}{{a_n^{\frac{1}{{n + 1}}}}} \le \frac{{{a_n}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)}^{\frac{1}{{n + 1}}}}}} = 2{a_n}.}$

Επομένως, για κάθε θετικό ακέραιο

ισχύει $\displaystyle{a_n^{\frac{n}{{n + 1}}} \le 2{a_n} + \frac{1}{{{2^n}}}.}$

Επειδή η σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {2{a_n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)} }$ συγκλίνει, από το Κριτήριο Σύγκρισης έπεται ότι και η σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n^{\frac{n}{{n + 1}}}} }$ συγκλίνει.

mathematica.gr

Putnam 1988/B4

Putnam 1988/B4

Re: Putnam 1988/B4