mathematica.gr

ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ΜΟΥ ΕΥΧΑΡΙΣΤΏ

Αγαπητοί μου φίλοι,
σήμερα που κλείνω ένα χρόνο στο mathematica.gr, αισθάνομαι την ανάγκη να του εκφράσω τις εγκάρδιες ευχαριστίες μου, γιατί τούτο, δια των καταξιωμένων και μεγαλόψυχων ηγετικών στελεχών του με περιέβαλλε με αγάπη, με τίμησε{Εδώ} και μου έδωσε την ευκαιρία και την δυνατότητα να εκφραστώ, παρουσιάζοντας ένα μικρό δείγμα του πιο απλού ερευνητικού μου έργου στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και παράλληλα να προτρέψω τους φίλους της Γεωμετρίας να ασχοληθούν με την έρευνα στη Γεωμετρία, γιατί πιστεύω ότι έτσι θα συμβάλλουν στην πρόοδό της, αλλά και θα νοιώσουν την απέραντη χαρά και ικανοποίηση, για κάθε μια ανακάλυψή τους.
Αν κατάφερα να πίσω έστω και έναν φίλο, να ακολουθήσει τον δύσκολο, αλλά ωραίο και εποικοδομητικό αυτό δρόμο, για μένα θα είναι μεγάλη ικανοποίηση.
Επίσης ευχαριστώ όλους τους φίλους που μου συμπαραστάθηκαν και με βοήθησαν, ο καθένας με τον δικό του τρόπο, στις παραπάνω προσπάθειές μου.
Συνεχίζουμε μαζί, όπως μέχρι τώρα τις προσπάθειές μας. Όμως, αγαπητοί φίλοι, ύστερα από δύο μήνες περίπου, θα πρέπει αναγκαστικά να μειώσω τον χρόνο που διαθέτω στο mathematica, καθώς με περιμένει πολύ έργο, κυρίως δυστυχώς γραφικό, βεβαίως παράλληλα και ερευνητικό, αφού από το ερευνητικό μου έργο έχω εκδώσει τους δώδεκα τόμους, ενώ με περιμένουν άλλοι δέκα τόμοι, εκτιμώ με σημαντικά στοιχεία, γραμμένοι μεν αλλά που πρέπει να τους καθαρογράψω (ηλεκτρονική στοιχειοθεσία) και να τους εκτυπώσω, για να κυκλοφορήσουν. Και όλα αυτά πρέπει να γίνουν προφανώς αποκλειστικά από μένα, αφού δεν διαθέτω χρήματα.
Προκύπτει το ερώτημα, λόγω και της μεγάλης μου ηλικίας, θα μπορέσω; Καθώς στο μεταξύ θα έχουν προκύψει και πολλά άλλα νεότερα στοιχεία;(καθημερινά προκύπτουν). Η απάντηση είναι ότι μπορέσω. Τα υπόλοιπα δυστυχώς θα μείνουν στα συρτάρια μου, εκτός και βρεθεί κάποιος να συνεχίσει το έργο μου.
Και πάλι ευχαριστώ θερμά όλους σας.
Ευχές.

Με πολύ αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής.

Νίκο,
όχι μόνο θα καταφέρεις να ολοκληρώσεις αυτό το τεράστιο έργο, αλλά θα μπορέσεις ακόμα να διατυπώσεις και νέα συμπεράσματα ή θεωρήματα.
Ο Θεός αγαπά τη Γεωμετρία, πόσο μάλλον και τους γεωμέτρες ! Είμαστε όμως και μεις εδώ που σε αγαπάμε και μη διστάσεις να μας ζητήσεις όποια βοήθεια θελήσεις !
Καλή δύναμη και γρήγορα να δούμε το έργο σου στη μορφή που ονειρεύεσαι !
Όσον αφορά τα χρόνια σου στο mathematica , σου ευχόμαστε να είναι πολλαπλάσια του 100 !

Μπάμπης

Κύριε Νίκο να είστε καλά και να μείνετε πολλά χρόνια μαζι μας εδώ.

Με την ευκαιρία της επετείου μεταφέρω μια απόδειξη που βρήκα στο διαδίκτυο σε σχέση με το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν. Αν υπάρχει στη συλλογή πείτε μου να την σβήσουμε.

On Wilkinson's Method of treating the Nine-Points Circle, with Generalizations.
By R. F. MUIRHBAD, M.A., D.Sc

Ακολουθεί απόδειξη και σχήμα που έχουν μεταφερθεί στο οικείο θέμα στη θέση
viewtopic.php?f=50&t=5636&p=59541#p59541

Τροποποίηση μηνύματος 19-11-10

Κύριε Νίκο ευχαριστούμε που είστε εδώ μαζί μας... Που μοιράζεστε τις σκέψεις και τους προβληματισμούς σας με όλους μας! Είναι τιμή μας...

Το ήθος και η καλοσύνη σας είναι απέραντα...

Εύχομαι να σας έχει ο Θεός καλά και είμαι σίγουρος ότι θα ολοκληρώσετε και την έκδοση των 10(++) επόμενων τόμων που θα ξεκινήσετε!Καλή αρχή λοιπόν...

Με εκτίμηση,

Αλέξανδρος Συγκελάκης

Φίλε Νίκο,
πολύ συγκινήθηκα με το "ΜΕΓΆΛΟ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ" σου. Η μέχρι τώρα πορεία σου εγγυάται πως θα μας προσφέρεις περισσότερα, γιατί δεν έχει καμιά σημασία η αστρονομική μας ηλικία. Σημασία έχει η ηλικία της ψυχής μας κι εσύ μας απόδειξες πως η ψυχή σου έχει την ηλικία έφηβου
με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Νίκο,
όχι μόνο θα καταφέρεις να ολοκληρώσεις αυτό το τεράστιο έργο, αλλά θα μπορέσεις ακόμα να διατυπώσεις και νέα συμπεράσματα ή θεωρήματα.
Ο Θεός αγαπά τη Γεωμετρία, πόσο μάλλον και τους γεωμέτρες ! Είμαστε όμως και μεις εδώ που σε αγαπάμε και μη διστάσεις να μας ζητήσεις όποια βοήθεια θελήσεις !
Καλή δύναμη και γρήγορα να δούμε το έργο σου στη μορφή που ονειρεύεσαι !
Όσον αφορά τα χρόνια σου στο mathematica , σου ευχόμαστε να είναι πολλαπλάσια του 100 !

Μπάμπης

Φίλε Μπάμπη,
Σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, τις ευχές σου, την αγάπη σας και την ηθική σας συμπαράστασή.
Επί του παρόντος όλα αυτά μου αρκούν, γιατί με εμψυχώνουν και μου δίνουν τη δύναμη και το κουράγιο να προχωρήσω με μεγάλη αισιοδοξία.
Αν αργότερα χρειαστώ κάτι συγκεκριμένο, έχω το θάρρος να σας το ζητήσω.

Δεν σας κρύβω ότι και άλλοι φίλοι έσπευσαν, με προσωπικά τους μηνύματα, να μου συμπαρασταθούν και να μου προσφέρουν τις υπηρεσίες τους. Δεν ξέρω αν αυτές είναι δυνατό να αξιοποιηθούν στην πράξη τώρα, καθώς υπάρχουν πολλά εμπόδια. Τους ευχαριστώ πολύ. Η συμπαράστασή τους είναι συγκινητική. Τώρα νοιώθω ότι βρίσκομαι μέσα σε μια σωστή και μεγάλη παρέα. Θα απαντήσω στον καθένα χωριστά με προσωπικά μου μηνύματα.

Πάντως, δεν μπορώ να καταλάβω, (ίσως δεν εκφράστηκα εγώ με σαφήνεια), πώς πείρε αυτή την τροπή το όλο θέμα, καθώς εγώ απλά ανάφερα το πρόβλημά μου, όπως συμβαίνει να λέμε τα προβλήματά μας στους πολύ φίλους μας, για να ανακουφισθούμε και μάλιστα για πιθανή βοήθεια, στο απώτερο μέλλον και αν τελικά δε μπορέσω μέχρι τότε να ανταποκριθώ στις ανάγκες μου.

Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής.

Φίλοι μου , Αλέξανδρε Συγκελάκη και Γιάννη Κερασαρίδη,
σας ευχαριστώ πολύ για την αγάπη σας, την συμπαράστασή σας, τα καλά σας λόγια και τις ευχές σας. Με συγκινήσατε. Να είστε καλά.


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής.

Επειδή όλα κρίνονται στην πράξη, έχω μία ιδέα την οποία θα καταθέσω στη συνάντηση του Mathematica στο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Χαλκίδα
και από την αποδοχή της ή όχι θα εξαρτηθεί τι θα κάνουμε με την περίπτωση του "κύριου Νίκου".
Πάντως, φίλε Νίκο γλύτωσες το 166, τον αριθμό των πρώτων βοηθειών, αφού έφτασες το 167 και προχωράς ακάθεκτος.
Να είσαι καλά και θα τα πούμε από κοντά στο τέλος του μήνα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

p_gianno έγραψε:Κύριε Νίκο να είστε καλά και να μείνετε πολλά χρόνια μαζι μας εδώ.

Με την ευκαιρία της επετείου μεταφέρω μια απόδειξη που βρήκα στο διαδίκτυο σε σχέση με το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν. Αν υπάρχει στη συλλογή πείτε μου να την σβήσουμε.

On Wilkinson's Method of treating the Nine-Points Circle, with Generalizations.
By R. F. MUIRHBAD, M.A., D.Sc

Έστω τργ ABC BY , CZ και τα δύο ύψη που τέμνονται στο Ο. Έστω ότι η ΑΟ τέμνει την την BC στο Χ . Θα δείξουμε ότι ΑΧ κάθετη στην BC.
Αν H,K,L τα μέσα των των BC ,CA ,AB αντιστοίχως
και U,V,W “””””””””””””” OA ,OB,OC “”””””””””
Τότε επειδή UV=1/2 AB=KH και VH=1/2OC=UK το UVHK είναι παραλληλόγραμμο με πλευρές παράλληλες προς τις ΑΒ και CO (που είναι κάθετες) άρα είναι ορθογώνιο . Συνεπώς HU και KV είναι ίσες και διχοτομούνται.
Ομοίως WULH ορθογώνιο με τις ίσες διαγωνίους HU , LW να διχοτομούνται.
Συνεπώς KV= LW και διχοτομούνται με αποτέλεσμα να είναι KLVW ορθογώνιο και επομένως οι BC ,AX που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του ορθογωνίου να είναι μεταξύ τους κάθετες.
Συνεπώς τα τρία ύψη συντρέχουν.

Φίλε p_gianno,

Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και τις ευχές σου.
Την απόδειξη του Θεωρήματος των διχοτόμων τριγώνου, που μου έστειλες θα την μελετήσω και σύντομα θα σου απαντήσω εδώ, και στην ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 66η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κε Νίκο Κυριαζή
Μάλλον είναι καλό για μας που πρέπει να είσαι και θα είσαι ακμαίος, αφού η προσφορά σου με την Σοβαρότατη Επιστημονική Ενασχόληση σου με την Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι Κορυφαία και αποτελεί μία ευθεία απάντηση στην Πρόκληση των καιρών. Αν μη τι άλλο είναι πασίγνωστο ότι όλοι οι Μεγάλοι Μαθηματικοί ασχοληθήκαν και ασχολούνται με αυτή. Κάποιοι βέβαια παράξενοι τύποι,ευτυχώς λίγοι,που τους μπήκε η ιδέα ότι είναι καλοί Μαθηματικοί την πολέμησαν. Έχασαν πολλά, έχασαν την ηθική των Μαθηματικών. Έχασαν την δυνατότητα να είναι καλοί λύτες, αφού είναι επίσης γνωστό ότι μέσω της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προπονείται κανείς στο maximum της δεξιοτεχνίας να χειρίζεται την ΛΟΓΙΚΗ ΒΛΕΠΟΝΤΑΣ και ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ και άρα αποκτά σιγά- σιγά αλλά σταθερά το πλεονέκτημα και προς τους άλλους τομείς των Μαθηματικών. Δεν είναι τυχαίο ότι τουλάχιστον το 1/3 των προβλημάτων για την επιλογή Μαθηματικών Ταλέντων στους επίσημους Μαθηματικούς διαγωνισμούς, Παγκοσμίως είναι από την Γεωμετρία. Μήπως ξεχνάμε ότι την μέθοδο της εξάντλησης την ανέδειξε Μέγιστος Γεωμέτρης ο Αρχιμήδης; Και θεωρώ ότι γνωρίζουμε ότι η μέθοδος αυτή δεν είναι απλώς αφετηρία είναι Η αφετηρία γιά τον Απειροστικό Λογισμό.

Ανάλυση - Σύνθεση - Κατασκευή – Απόδειξη - Διερεύνηση.

Να είσαι λοιπόν καλά Κε ΝΙΚΟ
Σωτήρης Ε. Λουρίδας

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Επειδή όλα κρίνονται στην πράξη, έχω μία ιδέα την οποία θα καταθέσω στη συνάντηση του Mathematica στο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Χαλκίδα
και από την αποδοχή της ή όχι θα εξαρτηθεί τι θα κάνουμε με την περίπτωση του "κύριου Νίκου".
Πάντως, φίλε Νίκο γλύτωσες το 166, τον αριθμό των πρώτων βοηθειών, αφού έφτασες το 167 και προχωράς ακάθεκτος.
Να είσαι καλά και θα τα πούμε από κοντά στο τέλος του μήνα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέα μου,
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμπαράστασή σου, και προπαντός για το επιτυχημένο σου χιούμορ, το οποίο μας έδιωξε έστω και για λίγο από τη ρουτίνα.
Δε μας είπες όμως ποίος με γλύτωσε από το 166. (Ποίος; Τούτο αν δεν είναι Πρόβλημα!!!). Αυτό θα πει να έχεις πολύ καλούς φίλους.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

S.E.Louridas έγραψε:Κε Νίκο Κυριαζή
Μάλλον είναι καλό για μας που πρέπει να είσαι και θα είσαι ακμαίος, αφού η προσφορά σου με την Σοβαρότατη Επιστημονική Ενασχόληση σου με την Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι Κορυφαία και αποτελεί μία ευθεία απάντηση στην Πρόκληση των καιρών. Αν μη τι άλλο είναι πασίγνωστο ότι όλοι οι Μεγάλοι Μαθηματικοί ασχοληθήκαν και ασχολούνται με αυτή. Κάποιοι βέβαια παράξενοι τύποι,ευτυχώς λίγοι,που τους μπήκε η ιδέα ότι είναι καλοί Μαθηματικοί την πολέμησαν. Έχασαν πολλά, έχασαν την ηθική των Μαθηματικών. Έχασαν την δυνατότητα να είναι καλοί λύτες, αφού είναι επίσης γνωστό ότι μέσω της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προπονείται κανείς στο maximum της δεξιοτεχνίας να χειρίζεται την ΛΟΓΙΚΗ ΒΛΕΠΟΝΤΑΣ και ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΣ και άρα αποκτά σιγά- σιγά αλλά σταθερά το πλεονέκτημα και προς τους άλλους τομείς των Μαθηματικών. Δεν είναι τυχαίο ότι τουλάχιστον το 1/3 των προβλημάτων για την επιλογή Μαθηματικών Ταλέντων στους επίσημους Μαθηματικούς διαγωνισμούς, Παγκοσμίως είναι από την Γεωμετρία. Μήπως ξεχνάμε ότι την μέθοδο της εξάντλησης την ανέδειξε Μέγιστος Γεωμέτρης ο Αρχιμήδης; Και θεωρώ ότι γνωρίζουμε ότι η μέθοδος αυτή δεν είναι απλώς αφετηρία είναι Η αφετηρία γιά τον Απειροστικό Λογισμό.

Ανάλυση - Σύνθεση - Κατασκευή – Απόδειξη - Διερεύνηση.

Να είσαι λοιπόν καλά Κε ΝΙΚΟ
Σωτήρης Ε. Λουρίδας

Φίλε Σωτήρη,
ευχαριστώ πολύ για την αγάπη σου, τα καλά σου λόγια και την συμπαράστασή σου. Να είσαι καλά.
Συμφωνώ σε αυτά που μου γράφεις για τη Ευκλείδεια Γεωμετρία και δεν μπορώ να μην προσθέσω γι’ αυτή, τα παρακάτω:
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία λοιπόν είναι η κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη, την οποία επέλεξα και εγώ να υπηρετήσω ανιδιοτελώς, μετά την συνταξιοδότησή μου, αν και είχα να κάνω και άλλες επιλογές και μάλιστα αμειβόμενες.
Θέλοντας ο Πλάτων να δείξει την αξία της Γεωμετρίας, στην είσοδο της Ακαδημίας του, όπως είναι γνωστό, είχε γράψει επιγραφή, με την οποία απαγόρευε να μπαίνει μέσα σε αυτή, όποιος δεν ήταν γνώστης της Γεωμετρίας.
Κατά τον Πλάτωνα, αυτός που δεν γνώριζε τουλάχιστον τα βασικά θέματα της Γεωμετρίας, δεν μπορούσε να θεωρηθεί ολοκληρωμένος άνθρωπος.
Η αξία της Γεωμετρίας είναι μεγάλη, καθώς συμβάλλει αποφασιστικά στην πρόοδο του ανθρώπου, αφού βρίσκει εφαρμογές στην Μηχανική, Αρχιτεκτονική, Τοπογραφία, Οδοποιία, Γλυπτική, Ζωγραφική, Τέχνες κ.τ.λ.
Τα αριστουργήματα της αρχιτεκτονικής, ο Παρθενώνας, η Αγ. Σοφιά, κ.τ.λ., δεν θα υπήρχαν αν δεν υπήρχε η Γεωμετρία, καθώς αυτά έγιναν με την βοήθεια της Γεωμετρικής αναλογίας, της αρμονίας και της συμμετρίας.
Κανένας καλόπιστος άνθρωπός δεν μπορεί να αμφισβητήσει τον κυρίαρχο ρόλο της Γεωμετρίας στη ζωή μας.
Η Γεωμετρία, εκτός από την πρακτική ωφελιμότητά της, έχει από μόνη της εξαίσια ομορφιά και ουράνια αισθητική γοητεία.
Εξάλλου στην Γεωμετρία βρίσκουμε την αλήθεια, που σήμερα σπάνια την συναντάμε, καθώς η Γεωμετρία παραμένει μακριά από την ασάφεια, την υποκρισία και το ψέμα.
Κατά τον Πλάτωνα, η ‶ Γεωμετρία είναι η αγωγός προς την αλήθεια ″ .
Ακόμη, με την Γεωμετρία αναπτύσσεται η ερευνητική ικανότητα, η κριτική και η λογική σκέψη. Είναι ίσως η μόνη επιστήμη που ασκεί το πνεύμα με απόλυτη αυστηρότητα.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ιστορικά αποτελούσε το πρότυπο θεμελίωσης και ανάπτυξης για κάθε επιστημονική θεωρία. Οι Μάρξ, Αϊστάϊν, Μ. Ναπολέων και άλλοι, όπως οι ίδιοι έλεγαν, προτού ασχοληθούν με κάποιο σοβαρό θέμα, μελετούσαν Γεωμετρία.
Είναι φανερό ότι με την ενέργεια αυτή οδηγούσαν την σκέψη τους στην κατεύθυνση της δημιουργικής αποδεικτικής διαδικασίας.
Δεν είναι τυχαίο που τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου, όλων των εποχών, αγάπησαν με πάθος την ωραιότερη όλων των επιστημών, την Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Ο Πασκάλ σε έργο του γράφει :
‶ Η Γεωμετρία είναι σχεδόν η μόνη από τις επιστήμες που δίνει αλάνθαστα συμπεράσματα, γιατί αυτή μόνο ακολουθεί μια πραγματική μέθοδο, ενώ όλες οι άλλες βρίσκονται σε ένα είδος σύγχυσης…..″
Κατά τον W. Heisender, για την κατανόηση του κόσμου, δύο γλώσσες υπάρχουν : Τα μαθηματικά (Αριθμητική και Γεωμετρία) και η ποίηση.
Εκτός από την επιστημονική αξία της η Γεωμετρία θεωρείται και βασικό παιδαγωγικό μάθημα από την αρχαιότητα. Δεν είναι τυχαίο, που η πρώτη γνωστή μας υποδειγματική διδασκαλία του Σωκράτη, είναι εκείνη που γίνεται σε δούλο, με αντικείμενο διδασκαλίας ένα Γεωμετρικό θέμα .
Ό Πλάτων ήταν ένθερμος θαυμαστής της Γεωμετρίας και πίστευε απόλυτα στην εκπαιδευτική της αξία.
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεωρείται πολύ σημαντικό παιδαγωγικό και διδακτικό εργαλείο, μέχρι και σήμερα. Ο ρόλος της στην εκπαιδευτική διαδικασία θεωρείται διεθνώς ανεκτίμητος, θεμελιακός και αναντικατάστατος, ενώ έχει και το πλεονέκτημα, τα αποτελέσματα να είναι άμεσα ορατά.
Έτσι, και στη χώρας μας, έχοντες υπόψη όλα τα παραπάνω, όπως και τον ιστορικό ρόλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στην πολιτιστική μας κληρονομιά, διδάσκεται στο λύκειο. Τούτο όμως δεν φθάνει, πρέπει να βοηθήσουν όλοι οι εμπλεκόμενοι, ώστε να πάρει την σωστή της θέση στην εκπαίδευση και να μην επικρατεί η λογική των εισαγωγικών εξετάσεων. Ίδωμεν.
Για όλους τους παραπάνω λόγους, πολλοί σήμερα έχουμε στρατευθεί ως απλοί εθελοντές στρατιώτες στην υπηρεσία της Ελληνικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας, τις επάλξεις της οποίας, με πίστη υπερασπίζουμε.
Σωτήρη, θα μπορούσα να σου πω πολύ περισσότερα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Επιφυλάσσομαι για άλλοτε.

Με αγάπη και πολύ εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής.

p_gianno έγραψε:Κύριε Νίκο να είστε καλά και να μείνετε πολλά χρόνια μαζι μας εδώ.

Με την ευκαιρία της επετείου μεταφέρω μια απόδειξη που βρήκα στο διαδίκτυο σε σχέση με το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν. Αν υπάρχει στη συλλογή πείτε μου να την σβήσουμε.

On Wilkinson's Method of treating the Nine-Points Circle, with Generalizations.
By R. F. MUIRHBAD, M.A., D.Sc

Έστω τργ ABC BY , CZ και τα δύο ύψη που τέμνονται στο Ο. Έστω ότι η ΑΟ τέμνει την την BC στο Χ . Θα δείξουμε ότι ΑΧ κάθετη στην BC.
Αν H,K,L τα μέσα των των BC ,CA ,AB αντιστοίχως
και U,V,W “””””””””””””” OA ,OB,OC “”””””””””
Τότε επειδή UV=1/2 AB=KH και VH=1/2OC=UK το UVHK είναι παραλληλόγραμμο με πλευρές παράλληλες προς τις ΑΒ και CO (που είναι κάθετες) άρα είναι ορθογώνιο . Συνεπώς HU και KV είναι ίσες και διχοτομούνται.
Ομοίως WULH ορθογώνιο με τις ίσες διαγωνίους HU , LW να διχοτομούνται.
Συνεπώς KV= LW και διχοτομούνται με αποτέλεσμα να είναι KLVW ορθογώνιο και επομένως οι BC ,AX που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του ορθογωνίου να είναι μεταξύ τους κάθετες.
Συνεπώς τα τρία ύψη συντρέχουν.

Φίλε p_gianno,
η απόδειξη του Θεωρήματος των διχοτόμων τριγώνου, που μου έστειλες, δεν υπάρχει στη συλλογή μας, οπότε θα τη συμπεριλάβουμε στη συλλογή μας και αυτή.
Για λεπτομέρειες βλέπε Εδώ.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.