mathematica.gr

Η Μ Ε Ρ Ι Δ Α
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν

ΒΕΡΟΙΑ 20 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011

Το Παράρτημα Ημαθίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
σας προσκαλεί στην ημερίδα Μαθηματικών που θα πραγματοποιηθεί
τη Κυριακή 20 Φεβρουαρίου 2011 στην αίθουσα εκδηλώσεων του
ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟΥ ΗΜΑΘΙΑΣ (Κεντρικής 3 Βέροια, έναντι πλατείας
Δικαστηρίων) με θέμα :

«Τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου»

Την ημερίδα μπορούν παρακολουθήσουν καθηγητές Μαθηματικών και
μαθητές της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης της Γ΄ τάξης
Λυκείου.

09:30 – 10:00 Προσέλευση - εγγραφή – καφές

10:00 – 10:40 Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηματικός φροντιστής:
Η χρήση του συνεπάγεται και της ισοδυναμίας.

10:40 – 11:00 Ερωτήσεις – Συζήτηση

11:00 – 11:40 Κωτσάκης Γιώργος, Μαθηματικός 3ου ΓΕΛ Βέροιας
Εφαρμογές στο θεώρημα του Rolle

11:40 – 12:00 Ερωτήσεις – Συζήτηση

12:00 – 12:40 Θανάσης Ξένος, Μαθηματικός -Συγγραφέας
Αποσαφήνιση ιδιαζουσών περιπτώσεων στα Μαθηματικά(*)

12:40 – 13:00 Ερωτήσεις – Συζήτηση

(*)Θα αναφερθούν ορισμένα από τα πλέον χαρακτηριστικά λάθη και παραλείψεις που
γίνονται από μαθητές και που θα πρέπει εμείς οι εκπαιδευτικοί να επισημαίνουμε
κατά τη διδασκαλία. Επίσης, θα δοθεί απάντηση στο ερώτημα "Κάτω από ποιες προϋποθέσεις
μια παραγωγίσιμη και αύξουσα συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα;". Θα αποδειχθούν για το
θέμα αυτό δύο σημαντικές προτάσεις και θα αναφερθούν παραδείγματα.

Διαβάζοντας το πρόγραμμα, διαπιστώνω πως είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα ημερίδα
Γιάννης Κερασαρίδης

Πραγματικά ενδιαφέρουσα και κυρίως (για μένα) το θέμα που θα αναπτύξει ο κ. Ξένος. Θα παρακαλούσα όποιον παρευρεθεί και έχει κάποιο υλικό που μπορεί να στείλει να το κάνει.....για όσους δεν μπορούμε να παρευρεθούμε στην βέροια.

Ευχαριστώ

Στο περιοδικό Εκπαιδευτικοί προβληματισμοί , http://www.ziti.gr/docs/ekp_pro_11.pdf, τεύχος 11 Μάϊος 2004, στις σελίδες 31-37 υπάρχει ένα σχετικό, πολύ ενδιαφέρον άρθρο, του κ Ξένου

Μ.

Υ.Γ.
Δεν ξέρω αν υπάρχουν θέματα πνευματική ιδιοκτησίας, όμως το περιοδικό κυκλοφορεί ελεύθερα στο internet.

pana1333 έγραψε:Πραγματικά ενδιαφέρουσα και κυρίως (για μένα) το θέμα που θα αναπτύξει ο κ. Ξένος. Θα παρακαλούσα όποιον παρευρεθεί και έχει κάποιο υλικό που μπορεί να στείλει να το κάνει.....για όσους δεν μπορούμε να παρευρεθούμε στην βέροια.

Ευχαριστώ

Το έχουμε ξανασυζητήσει το θέμα αυτό στο

polysot έγραψε:

pana1333 έγραψε:Πραγματικά ενδιαφέρουσα και κυρίως (για μένα) το θέμα που θα αναπτύξει ο κ. Ξένος. Θα παρακαλούσα όποιον παρευρεθεί και έχει κάποιο υλικό που μπορεί να στείλει να το κάνει.....για όσους δεν μπορούμε να παρευρεθούμε στην βέροια.

Ευχαριστώ

Το έχουμε ξανασυζητήσει το θέμα αυτό στο

Σωτήρη εννοείς αυτό "Κάτω από ποιες προϋποθέσεις μια παραγωγίσιμη και αύξουσα συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα;" ή αυτό "Αποσαφήνιση ιδιαζουσών περιπτώσεων στα Μαθηματικά";. Σίγουρα έχουν συζητηθεί διάφορα τέτοια θέματα στο mathematica......Στείλε μου αν έχεις αυτο που εννοείς......

Ευχαριστώ

Έχω τις εισηγήσεις από την Ημερίδα στη Βέροια στις 20-2-2011 και στις 18-4-2010.


Γ.ΚΩΤΣΑΚΗ ΕΙΣΗΓΗΣΗ Ημερίδα 18-04-10
Ε. ΜΗΤΣΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΣΗ Ημερίδα 18-4-2010
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Γιώργος Κωτσάκης 20-2-11
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Θανάσης Ξενος 20-2-11
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Νίκος Ιωσηφίδης 20-2-11
Ν. ΙΩΣΗΦΙΔΗ Εισήγηση 18-4-10

Το μέγεθός τους είναι περίπου 5ΜΒ και δεν ξέρω στα αρχεία σε ποιο φάκελο να τις βάλω.

margavare έγραψε:Έχω τις εισηγήσεις από την Ημερίδα στη Βέροια στις 20-2-2011 και στις 18-4-2010.
Γ.ΚΩΤΣΑΚΗ ΕΙΣΗΓΗΣΗ Ημερίδα 18-04-10
Ε. ΜΗΤΣΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΣΗ Ημερίδα 18-4-2010
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Γιώργος Κωτσάκης 20-2-11
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Θανάσης Ξενος 20-2-11
ΕΙΣΗΓΗΣΗ ΕΜΕ Νίκος Ιωσηφίδης 20-2-11
Ν. ΙΩΣΗΦΙΔΗ Εισήγηση 18-4-10
Το μέγεθός τους είναι περίπου 5ΜΒ και δεν ξέρω στα αρχεία σε ποιο φάκελο να τις βάλω.

Ευχαριστούμε πολύ.
Τα πρακτικά μπορείτε να τα κατεβάσετε από εδώ:
http://ifile.it/rfhivby/Imathia.zip
Δώστε Request Download Ticket και μετά Download.
Μαυρογιάννης

Ευχαριστούμε

Να σας ευχαριστήσω με την σειρά μου. Πολύ χρήσιμα και ενδιαφέροντα......

Διάβασα με προσοχή την εισήγηση του συνάδελφου Νίκου Ιωσηφίδη με θέμα:
« Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ »
στην ημερίδα Μαθηματικών που έγινε στη Βέροια. Ξεκινάει με την εξής παρατήρηση:
«Η όλη ανάπτυξη της παρούσης εισήγησης γίνεται χωρίς τη χρήση της Μαθηματικής Λογικής και είναι προσαρμοσμένη στις γνώσεις των μαθητών».
• Αναρωτιέται κανένας, αφού τα σύμβολα αυτά και ορίζονται στη Μαθηματική Λογική, πώς είναι δυνατόν να μιλάμε για σωστή χρήση αυτών αγνοώντας την Μαθηματική Λογική;
• Πέρα από αυτό. Οι μαθητές προσαρμόζουν τις γνώσεις τους σύμφωνα με αυτά που τους διδάσκει ο καθηγητής τους και όχι το αντίστροφο. Που απέκτησαν τις γνώσης οι μαθητές για το πώς πρέπει να αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά; Στο σπίτι τους; Στο σχολείο πάνε τα παιδιά για να διδάξουν ή για να διδαχθούν.
• Αφού τα μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής ( οτιδήποτε και να πούμε στα μαθηματικά στηρίζεται σε κάποιο νόμο της Μαθηματική Λογικής) και αφού η εισήγηση γίνεται χωρίς τη χρήση της Μαθηματικής Λογικής, όπως μας λέει ο αγαπητός συνάδελφος, αναρωτιέμαι σε τι θα μπορούσε να μας βοηθήσει στα μαθηματικά η εισήγηση αυτή. Μάλλον σύγχυση θα μπορούσε να προκαλέσει, αφού τα σύμβολα αυτά και χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά ακριβώς όπως ορίζονται στην Μαθηματική Λογική και όχι όπως τα καταλαβαίνει ο καθένας μας. Άλλωστε η Μαθηματική Λογική γεννήθηκε από την ανάγκη τακτοποίησης και κατανόησης των μαθηματικών.
Φιλικά.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Διάβασα με προσοχή την εισήγηση του συνάδελφου Νίκου Ιωσηφίδη με θέμα:
« Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΙ »
στην ημερίδα Μαθηματικών που έγινε στη Βέροια. Ξεκινάει με την εξής παρατήρηση:
«Η όλη ανάπτυξη της παρούσης εισήγησης γίνεται χωρίς τη χρήση της Μαθηματικής Λογικής και είναι προσαρμοσμένη στις γνώσεις των μαθητών».
• Αναρωτιέται κανένας, αφού τα σύμβολα αυτά και ορίζονται στη Μαθηματική Λογική, πώς είναι δυνατόν να μιλάμε για σωστή χρήση αυτών αγνοώντας την Μαθηματική Λογική;
• Πέρα από αυτό. Οι μαθητές προσαρμόζουν τις γνώσεις τους σύμφωνα με αυτά που τους διδάσκει ο καθηγητής τους και όχι το αντίστροφο. Που απέκτησαν τις γνώσης οι μαθητές για το πώς πρέπει να αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά; Στο σπίτι τους; Στο σχολείο πάνε τα παιδιά για να διδάξουν ή για να διδαχθούν.

Στην αρχή του κειμένου ο Νίκος Ιωσηφίδης διευκρινίζει το σκοπό και στόχο της της εισήγησής του. Απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου, και γι' αυτό προσαρμόζει το κείμενο στις γνώσεις των μαθητών, που τις έχουν αποκτήσει στο σχολείο ή, γιατί όχι, και στο σπίτι τους. Δεν ξεκινά δηλαδή από το "Εν αρχή ήν ο Λόγος...", αλλά προσαρμόζεται στο επίπεδο των μαθητών της Γ΄ Λυκείου. Απλά και ξεκάθαρα. Το σχόλιο περί προσαρμογής των γνώσεων αδικεί τον συγγραφέα ή σημαίνει ότι δεν έγινε κατανοητός ο στόχος της εισήγησης.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: • Αφού τα μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής ( οτιδήποτε και να πούμε στα μαθηματικά στηρίζεται σε κάποιο νόμο της Μαθηματική Λογικής) και αφού η εισήγηση γίνεται χωρίς τη χρήση της Μαθηματικής Λογικής, όπως μας λέει ο αγαπητός συνάδελφος, αναρωτιέμαι σε τι θα μπορούσε να μας βοηθήσει στα μαθηματικά η εισήγηση αυτή. Μάλλον σύγχυση θα μπορούσε να προκαλέσει, αφού τα σύμβολα αυτά και χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά ακριβώς όπως ορίζονται στην Μαθηματική Λογική και όχι όπως τα καταλαβαίνει ο καθένας μας. Άλλωστε η Μαθηματική Λογική γεννήθηκε από την ανάγκη τακτοποίησης και κατανόησης των μαθηματικών.
Φιλικά.

Οι έννοιες ορίζονται αμέσως μετά από τον Ν.Ι. ως εξής: Η έκφραση: "όπως τα καταλαβαίνει ο καθένας μας" αδικεί επίσης τον συγγραφέα και μάλιστα δίχως λόγο, αιτία και αφορμή.
Από πού προκύπτει αυθαίρετος ορισμός ή αυθαίρετη και λανθασμένη χρήση των συμβόλων στα δεκάδες παραδείγματα που ακολουθούν στο κείμενο;

Νομίζω ότι με τη υποσημείωσή του ο Ν.Ι. υπονοεί ότι δεν ασχολείται εδώ με την απόδειξη των συνεπαγωγών και ισοδυναμιών (που άπτεται των Νόμων και κανόνων της Μαθηματικής Λογικής), αλλά απλά δίνει οδηγίες για τη χρήση των συμβόλων.

Θα παρακαλούσα τον Αντώνη Κυριακόπουλο να τεκμηριώσει ή να ανακαλέσει την διαπίστωσή του ότι η συγκεκριμένη εισήγηση "Μάλλον σύγχυση θα μπορούσε να προκαλέσει."

Επαναφέρω το θέμα, γιατί μάλλον ξεχάστηκε κι έχει μείνει αναπάντητη η παράκληση που απευθύνω στο τέλος του προηγούμενου μηνύματός μου, ενώ μένουν αιωρούμενες (αναπόδεικτες) οι κρίσεις περί "σύγχυσης που θα μπορούσε να προκαλέσει" το κείμενο του Νίκου Ιωσηφίδη.

Με τιμή,
Γιώργος Ρίζος

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Θα παρακαλούσα τον Αντώνη Κυριακόπουλο να τεκμηριώσει ή να ανακαλέσει την διαπίστωσή του ότι η συγκεκριμένη εισήγηση "Μάλλον σύγχυση θα μπορούσε να προκαλέσει."

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Επαναφέρω το θέμα, γιατί μάλλον ξεχάστηκε κι έχει μείνει αναπάντητη η παράκληση που απευθύνω στο τέλος του προηγούμενου μηνύματός μου, ενώ μένουν αιωρούμενες (αναπόδεικτες) οι κρίσεις περί "σύγχυσης που θα μπορούσε να προκαλέσει" το κείμενο του Νίκου Ιωσηφίδη.
Με τιμή,
Γιώργος Ρίζος

Αγαπητέ Γιώργο Ρίζο.
• Καταρχήν αναρωτιέμαι αν ο συνάδελφος Νίκος Ιωσηφίδης έχει ανάγκη από συνηγόρους σχετικά με την εισήγησή του . Εγώ πιστεύω πως όχι. Εσύ πιστεύεις ότι δεν μπορεί να απαντήσει ο ίδιος; Νομίζω ότι κάνεις λάθος.
• Δεν είχα σκοπό να απαντήσω γιατί ότι είχα να πω το είπα στο προηγούμενο μήνυμά μου. Αφού όμως επιμένεις φαίνεται ότι δεν κατανόησες αυτά που γράφω και θα προσπαθήσω να γίνω περισσότερο σαφής.
• Λοιπόν, ο συγγραφέας της εισήγησης αυτής λέει ότι δεν κάνει χρήση της Μαθηματικής Λογικής. Kαι αυτό φαίνεται σε όλη την εισήγηση. Επομένως προσπαθεί να αντιμετωπίσει τα μαθηματικά με την κοινή λογική (η οποία, ως γνωστόν, δεν ταυτίζεται πάντοτε με τη Μαθηματική Λογική). Αυτό όμως, όπως έχει αποδειχθεί από το τέλος περίπου του 19ου ,αιώνα είναι αδύνατον. Άλλωστε, αυτός ήταν και ο λόγος που, από τότε και μετά, γίγαντες των μαθηματικών δημιούργησαν την Μαθηματική Λογική με την οποία θεμελίωσαν και ανέπτυξαν τα μαθηματικά. Όλα τα μαθηματικά, από το δημοτικό μέχρι το Πανεπιστήμια και πέρα απ' αυτό. Και είναι γνωστό πλέον ότι είναι αδύνατον να εμβαθύνει και να κατανοήσει κάποιος τα μαθηματικά χωρίς τη Μαθηματική Λογική. Επομένως τι θα μπορούσαμε να πούμε για την συνεπαγωγή και την ισοδυναμία στα μαθηματικά χωρίς τη χρήση της Μαθηματικής Λογικής; Απολύτως τίποτα, αφού τις έννοιες αυτές τις χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά ακριβώς όπως ορίζονται στην Μαθηματική Λογική και όχι όπως τις καταλαβαίνει ο καθένας μας με την κοινή λογική. Εκτός αν ο συγγραφέας της εισήγησης μας προτείνει να επανέλθουμε στα προ του 19ου αιώνα μαθηματικά!!!

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Λυκείου, και γι' αυτό προσαρμόζει το κείμενο στις γνώσεις των μαθητών, που τις έχουν αποκτήσει στο σχολείο ή, γιατί όχι, και στο σπίτι τους. Δεν ξεκινά δηλαδή από το "Εν αρχή ήν ο Λόγος...", αλλά προσαρμόζεται στο επίπεδο των μαθητών της Γ΄ Λυκείου. Απλά και ξεκάθαρα. Το σχόλιο περί προσαρμογής των γνώσεων αδικεί τον συγγραφέα ή σημαίνει ότι δεν έγινε κατανοητός ο στόχος της εισήγησης.

Στην αρχή παραδέχεσαι ότι προσαρμόζει το κείμενο στις γνώσεις των μαθητών, έστω της Γ΄ Λυκείου, και στο τέλος λες ότι το σχόλιο περί προσαρμογής των γνώσεων αδικεί τον συγγραφέα! Δεν νομίζεις ότι αυτά αντιφάσκουν;

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Οι έννοιες ορίζονται αμέσως μετά από τον Ν.Ι. ως εξής:
«Αν p και q είναι δύο προτάσεις ( ισότητες, ανισότητες, σχέσεις του περιέχεσθαι κ.τ.λ.) η σχέση ,δηλώνει ότι από την αλήθεια της πρότασης p μπορούμε με σωστούς συλλογισμούς να καταλήξουμε στην πρόταση q.
Αυτό διαβάζεται:
Η πρόταση p συνεπάγεται την πρόταση q, ή πιο απλά: p συνεπάγεται q».
« Όταν γράφουμε , αυτό σημαίνει και , δηλαδή από την πρόταση p προκύπτει η πρόταση q και από την πρόταση q προκύπτει η πρόταση p.
Αυτό διαβάζεται:
Η πρόταση p είναι ισοδύναμη με την q»

• Στην Μαθηματική Λογική και στα μαθηματικά η έκφραση: « » δεν είναι μια σχέση, που ίσως να θεωρείται τέτοια στην κοινή λογική, αλλά είναι μια πρόταση, η οποία «κατασκευάζεται» από τις προτάσεις p και q και ορίζεται πότε είναι αληθής και πότε είναι ψευδής. Στα μαθηματικά δεν υπάρχουν μόνο αληθείς προτάσεις. Δεν πρέπει να ξέρουμε πότε μια πρόταση του μορφής είναι ψευδής;
• Η έκφραση: « Αν p, τότε q», δεν υπάρχει στο λεξιλόγιο των μαθηματικών; Τότε πώς λέει παρακάτω( σελίδα 2) ότι μια η έκφραση διαβάζετε ισοδύναμα : «p αν και μόνο αν q»; Αυτά τα δύο έχουν άμεση σχέση.
• Αυτά που γράφει: «…από την αλήθεια της πρότασης p μπορούμε με σωστούς συλλογισμούς να καταλήξουμε στην πρόταση q» στην κοινή λογική μπορεί ο καθένας να τα ερμηνεύσει όπως θέλει. Όμοια και το: «από την πρόταση p προκύπτει η πρόταση q». Μόνο με τη Μαθηματική Λογική μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας συλλογισμός είναι σωστός ή όχι. Άλλωστε η έννοια του συλλογισμού ορίζεται στην Μαθηματική λογική.
.---- Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί στις σελίδες 2, 3 και 4 ο συγγραφέας της εισήγησης γράφει όλες αυτές τις συνεπαγωγές και ισοδυναμίες. Για την κατανόηση των εννοιών αυτών; Τρία- τέσσερα παραδείγματα δεν είναι αρκετά; Εκτός αν ήθελε να γράψει όλες τις συνεπαγωγές και ισοδυναμίες που υπάρχουν στα μαθηματικά, οπότε ο κατάλογος αυτός είναι πολύ ελλιπής. Όμοια παρακάτω για τις εξισώσεις, ανισώσεις και συστήματα.
---- Οι αποδείξεις στα μαθηματικά γίνονται μόνο με τους νόμους και τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής ( δεν εννοώ τις τυπικές- φορμαλιστικές αποδείξεις. Αν κάποιος θέλει να δει τέτοιες αποδείξεις μπορεί να ανοίξει το κατάλληλο βιβλίο των BOURBAKI. Φυσικά στις αποδείξεις αυτές, όπως θα διαπιστώσει, δεν έχουν καμία θέση οι πίνακες τιμών αλήθειας που είχαν κάποτε τα σχολικά βιβλία). Και οι εξισώσεις, οι ανισώσεις και τα συστήματα λύνονται με τα θεωρήματα ισοδυναμιών των εξισώσεων, ανισώσεων και συστημάτων, αντιστοίχως. Και όχι με τη μηχανική χρήση των συμβόλων.
---- Στη σελίδα 17 γράφει: « Απόδειξη μιας συνεπαγωγής με ισοδυναμίες». Αυτό προκαλεί τη μεγαλύτερη εντύπωση. Στη συνέχεια γράφει:
« Πολλές φορές είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι από την πρόταση p προκύπτει η πρόταση q, δηλαδή είναι δύσκολο να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή . Μπορούμε όμως να αποδείξουν πιο εύκολα τη συνεπαγωγή . Στις περιπτώσεις αυτές ακολουθείται η εξής λύση:
Θεωρούμε δεδομένο το συμπέρασμα ( δηλαδή την πρόταση q) και προσπαθούμε από την q να αποδείξουμε την p. Εφόσον η απόδειξη μπορεί να γίνει με ισοδυναμίες, έχουμε απόδειξη και την συνεπαγωγή που θέλουμε».
Δηλαδή μας λέει, αντί να αποδείξουμε την συνεπαγωγή είναι ευκολότερο να αποδείξουμε την η ισοδυναμία !!! Πώς είναι δυνατόν αυτό δεν μπορώ να το καταλάβω, αφού η απόδειξη της ισοδυναμίας έχει ακριβώς διπλάσια εργασία από την απόδειξη της συνεπαγωγής. Με άλλα λόγια προσπαθεί να μας πείσει ότι ένα απλό εισιτήριο είναι ακριβότερο από ένα εισιτήριο με επιστροφή!!! Και για να μη μας μείνει καμιά αμφιβολία,παρακάτω έχει το εξής παράδειγμα: «Αν α, β>0 να αποδειχθεί ότι (1)». Στην επόμενη σελίδα βγάζει το συμπέρασμα ότι:
« Η ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος είναι η παρακάτω:
»!!!
και όχι αυτή που έχει γράψει προηγουμένως, στην ίδια σελίδα ( και που πράγματι είναι ολοκληρωμένη, χωρίς περιττολογίες για την κοινή λογική ή χωρίς λάθη για την Μαθηματική Λογική και τα μαθηματικά, βλέπε και Εδώ ,συνημμένo, σελίδες 5 έως 8) και που είναι η εξής:
.
Και στην περίπτωση που ισχύει αυτή που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή η , αλλά δεν ισχύει η ισοδυναμία , δεν υπάρχει ολοκληρωμένη λύση της ; Για παράδειγμα, δεν υπάρχει ολοκληρωμένη λύση της πρότασης :
« Αν για ένα αριθμό , ισχύουν: , τότε », αφού δεν ισχύει η ισοδυναμία: ; Και όμως, όπως μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα, η συνεπαγωγή: ισχύει.
----Αγαπητέ Γιώργο Ρίζω. Θα μπορούσα να σου γράψω πολλά ακόμα. Αλλά θεωρώ ότι τα παραπάνω είναι αρκετά για να φανεί ότι μιλάμε διαφορετική γλώσσα και επομένως κάθε συζήτηση μεταξύ μας ,σχετικά με το θέμα αυτό, θα ήταν περιττή.
Φιλικά.

Επειδή ήμουνα παρών στην ημερίδα της Βέροιας, ύστερα από προσωπικό κάλεσμα των φίλων μου στη Βέροια και κυρίως από το Νίκο Ιωσηφίδη, και την οποία παρακολούθησα με προσοχή, θέλω να πω λίγα λόγια, για τις τυχόν λαθεμένες εντυπώσεις που μπορεί να προέκυψαν στο mathematica. Θέλω να καταθέσω την εκτίμησή μου για την ποιότητα της ημερίδας αυτής και κυρίως της εισήγησης του Νίκου Ιωσηφίδη.
Ο Νίκος Ιωσηφίδης, επαλήθευσε για μια ακόμα φορά πως είναι ένας εξαίρετος δάσκαλος των μαθηματικών αλλά και ένας εξαίρετος μαθηματικός. Έχει συνέπεια των λόγων του, σαφή αντίληψη των στόχων και του ευρύτερου σκοπού του ρόλου μέσα στην τάξη, στις αίθουσες συνεδριάσεων που μιλά αλλά και γενικότερα της σχέσης του με τα μαθηματικά και την παιδαγωγική.
Κατ’ αρχήν μέσα στην αίθουσα της παρουσίασης υπήρχε πλήθος συναδέλφων κι όχι μόνον, υπήρξαν μαθητές και μαθήτριες κυρίως του Λυκείου οι οποίοι συμμετείχαν στο δρώμενο με σοβαρότητα και κατάνυξη πράγμα που δείχνει πως δεν παραπλανήθηκαν σε «σύγχυση» αλλά περιπλανήθηκαν σε όμορφες βουνοκορφές της μαθηματικής παιδείας και της λογικής σκέψης.
Ξεκίνησε το θέμα του από τα απλά και το οδήγησε πολύ μακριά. Χωρίς πλατειασμούς και «αυστηρές» επιστημονικές αναφορές, χωρίς την ξύλινη γλώσσα της επιστημοσύνης. Αυτά πιστεύω απομακρύνουν το μαθητή. Είχε ένα ρεαλισμό, μια πρακτικότητα, μια απλότητα. Πράγματα που αγγίζουν τον νέο άνθρωπο και γιατί όχι, διδάσκουν κι εμάς τους μεγαλύτερους σε ηλικία.
Διάβασα και τη δήλωση του Νίκου Ιωσηφίδη βαλμένη ως μια μικρή υποσημείωση της πρώτης από τις 25 σελίδες της εισήγησής του, που λέει:
«Η όλη ανάπτυξη της παρούσας εισήγησης γίνεται χωρίς τη χρήση της
Μαθηματικής Λογικής και είναι προσαρμοσμένη στις γνώσεις των μαθητών»
Πιστεύω πως μ’ αυτό δηλώνει και ξεκαθαρίζει πως δεν θα αναφερθεί λεπτομερειακά και σχολαστικά στη θεμελίωση και στην αρχική επεξεργασία των λογικών προτάσεων απλών ή σύνθετων αλλά θα αντιμετωπίσει το θέμα με πιο απλό τρόπο και προσαρμοσμένο στα δεδομένα. Δε νομίζω πως μπορεί να υποστηρίξει κανείς πως όταν μιλά σε ένα ακροατήριο δεν λαμβάνει υπόψη του και δεν προσαρμόζει το λόγο του στο γνωστικό ανάγλυφο του ακροατηρίου.
Και τέλος: μήπως η πολύ «επιστημονικότητα» και η πολύ «αυστηρότητα» παγιδεύει την ελευθερία της σκέψης των μαθητών; Μιας και τίποτα στον κόσμο τούτο δεν είναι απόλυτο και προσδιορισμένο. Μήπως με την «αυστηρότητα» και την «επιστημονικότητα» χάνουμε κάθε μέρα το παιχνίδι. Μήπως αυτό έχει άρρηκτη σχέση και με το τί «πολίτη» ή καλύτερα τί «άνθρωπο» θέλουμε να οικοδομήσουμε(χτίσουμε); Μήπως κι εμείς ως μαθηματικοί έχουμε μερίδιο στην διάπλαση χαρακτήρων;

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ.
1ο Να με συμπαθάτε για τη μακρηγορία μου. Έτσι το ένιωθα. Έτσι το είπα.

2ο Θυμίζω και τούτο από παλιότερο μήνυμα μου:
"Πρῶτον εἰπεῖν περί καί τίνος ἐστίν ἡ σκέψις ὅτι περί ἀπόδειξιν καί ἐπιστήμης ἀποδεικτικῆς". (Αναλυτικά Πρότερα 24a)
Είναι η αρχική πρόταση του Αριστοτέλη στα Αναλυτικά Πρότερα όπου θεμελιώνει τη ανθρώπινη λογική(Λογική->Μαθηματική Λογική->...).

3ο Δεν ξέρω αν κανείς είχε την ευκαιρία να διαβάσει τους 40 ογκώδεις τόμους των Bourbaki για να κατανοήσει το πνεύμα των γάλλων αυτών μαθηματικών.
(http://forums.futura-sciences.com/debat ... ontre.html)

Αγαπητοί φίλοι.

Δεν ήμουν στην ημερίδα στη της Βέροιας. Δεν γνωρίζω τον Νίκο Ιωσηφίδη. Έχω την εργασία του. Είναι καλή και κρύβει πολλές ώρες δουλειάς.
Θα συμφωνήσω με τις παρατηρήσεις και την κριτική του Αντώνη, όχι γιατί είναι φίλος μου, αλλά γιατί θεωρώ έντιμο να συμφωνήσω.
Ο Αντώνης και ο οποιοσδήποτε από μας έχει δικαίωμα να του αρέσει ή να μην του αρέσει κάτι στην εργασία κάποιου συναδέλφου.
Η κριτική που κάνει πάνω στην εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη, δεν καταλαβαίνω, γιατί να μας ενοχλεί.
Μπορούμε να τη δεχθούμε, μπορούμε να μην τη δεχθούμε.
Σε καμιά περίπτωση αυτή η κριτική δεν θίγει ή προσβάλει την εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη, όπως επίσης, και τον ίδιο.
Επιτρέψτε μου να δω ότι την συμπληρώνει και την κάνει καλύτερη.
Ο εχθρός του καλού.... δεν είναι ο Αντώνης!

Φιλικά.

Θα ήταν πολύ καλύτερα αν ο Αντώνης Κυριακόπουλος (A.K.) στην αρχική του ανάρτηση στις 24/2 μαζί με το συμπέρασμά του ότι η εισήγηση του Νίκου Ιωσηφίδη (N.I.)"Μάλλον σύγχυση θα μπορούσε να προκαλέσει...", έδινε και την τεκμηρίωση των απόψεών του, ώστε ο κάθε αναγνώστης να κρίνει τα γραφόμενα και των δύο. Τότε δεν θα χρειαζόταν καμία παρέμβαση και ο περαιτέρω διάλογος...

k-ser έγραψε: Η κριτική που κάνει πάνω στην εργασία του Νίκου Ιωσηφίδη, δεν καταλαβαίνω, γιατί να μας ενοχλεί.
Επιτρέψτε μου να δω ότι την συμπληρώνει και την κάνει καλύτερη.

Απαντώ στον Κώστα Σερίφη ότι δεν με ενοχλεί η όποια κριτική και παράθεση απόψεων. Όταν έκανα την παρέμβασή μου το έκανα γιατί τα συμπεράσματα δεν αιτιολογούταν, δεν έβλεπα την "συμπλήρωση" της εργασίας που θα την κάνει καλύτερη. Αυτό ζήτησα με την ανάρτησή μου και την επαναφορά της.

Με την απάντηση του Α.Κ. ξεκαθαρίζουν τα πράγματα για όποιον παρακολουθεί τη συζήτηση.

Κατ' αρχήν:
Ποιος διαβεβαιώνει τον Α.Κ. ότι ο Νίκος Ιωσηφίδης παρακολουθεί το mathematica, ώστε να παρέμβει ο ίδιος;
Αλλά σε κάθε περίπτωση δεν κατανοώ γιατί ενοχλήθηκε ο Α.Κ. με το ότι ανάρτησα ένα κείμενο με τη γνώμη μου.
Ο χαρακτηρισμός "συνήγορος" με αδικεί και με προσβάλει και ζητώ την ανάκλησή του. Ο "συνήγορος", στην κυριολεξία, εκτελεί εντεταλμένη υπηρεσία από τον πελάτη του και όταν χρησιμοποιείται μεταφορικά αφήνει την υφή αμφισβήτησης των προθέσεων του υπογράφοντα. Οφείλουμε λοιπόν να χρησιμοποιούμε ορθά τους ορισμούς των εννοιών για να μπορούμε να συνεννοηθούμε.

Στην ουσία:
Ο Ν.Ι. αναφέρει ότι θεωρεί δεδομένο ότι απευθύνεται σε μαθητές Γ΄ Λυκείου και προσαρμόζει το κείμενό του στις γνώσεις των μαθητών. Τι το κακό έχει αυτό το γεγονός και τι ακαταλαβίστικο έχει αυτή διατύπωση;

Οι κυριότερες μομφές που αποδίδονται στον Ν.Ι. είναι:
•Γράφει "σχέση" αντί "πρόταση" . Στο κείμενο ο Ν.Ι. ασχολείται με σχέσεις ισότητας, ανισοτήτων κ.α., οπότε δεν νομίζω ότι είναι σοβαρό παράπτωμα!
•Απουσιάζει ο όρος "Αν p, τότε q", ενώ υπάρχει ο όρος «p αν και μόνο αν q».
Δεν χάνει τίποτα το κείμενο, αλλά θα τον παρακαλέσουμε να το συμπληρώσει.
• Αυτά που γράφει: «…από την αλήθεια της πρότασης p μπορούμε με σωστούς συλλογισμούς να καταλήξουμε στην πρόταση q» στην κοινή λογική μπορεί ο καθένας να τα ερμηνεύσει όπως θέλει. Όμοια και το: «από την πρόταση p προκύπτει η πρόταση q».
Οι σωστοί συλλογισμοί αναλύονται στα παραδείγματα. Ποιο είναι το πρόβλημα;

• Ο συγγραφέας της εισήγησης γράφει πολλά παραδείγματα στις σελίδες 2,3,4.
Αυτό είναι λόγος κριτικής;
Για το κείμενο της σελίδας 17, για να γίνει κατανοητό από κάθε αναγνώστη, παραθέτω το πρωτότυπο: Η μέθοδος του Νίκου αναφέρεται σε προτάσεις που εμπεριέχουν στην ουσία ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ, για τις οποίες, όμως, ο θεματοδότης επιλέγει να ζητήσει μόνο τη μια συνεπαγωγή.

Ο Ν.Ι. δεν την εφαρμόζει σε άλλες περιπτώσεις, άρα η μομφή μήπως γίνει λάθος σε κάποια άλλη περίπτωση, όπου δεν θα ισχύει μια αντίστροφη συνεπαγωγή είναι "υπόθεση του μη πραγματικού".

Ούτως ή άλλως τη διπλή δουλειά δε τη γλιτώνουμε, εκτός.... από μια τρίτη επιλογή (απολύτως κατακριτέα, που την έχω βιώσει ως μαθητής):
Γυρνά πλάτη ο καθηγητής, εφαρμόζει την αντίθετη συνεπαγωγή στον πίνακα, το σβήνει γρήγορα, γρήγορα, ξεκινά από την ουρανοκατέβατη αληθή σχέση (πρόταση) και με συνεπαγωγές οδηγείται στην αποδεικτέα! Αυτό θα μπορούσε να είναι θέμα στο τι να αποφεύγετε στη διδασκαλία στον ΑΣΕΠ.

Τα γραφόμενα περί διπλού εισιτηρίου μου θυμίζουν το διάλογο με ένα φορτηγατζή κάποτε που του ζήτησα να μου μεταφέρει την οικοσκευή από Κέρκυρα στη Θεσσαλονίκη και μου ζήτησε ένα ποσό. Μού φάνηκε ακριβό για μια απλή διαδρομή.
Εντάξει, μού λέει, αλλά εγώ ούτως ή άλλως θα επιστρέψω το φορτηγό πίσω...

Παραθέτω ένα απόσπασμα από έγκριτο βιβλίο της Δεκαετίας του 1970, του Αντώνη Κυριακόπουλου. Προσέξτε την τελευταία παράγραφο με τη χρήση (συνήθως) του διαζευκτικού ή.

Το αμάρτημα του Ν.Ι. είναι η χρήση ισοδυναμίας αντί του (ή);
Δεν το βλέπω τόσο σημαντικό που να τεκμηριώνει το πόρισμα της κριτικής!

Η τελευταία φράση με προσβάλει, με υποτιμά και με πικραίνει:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: ----Αγαπητέ Γιώργο Ρίζω. Θα μπορούσα να σου γράψω πολλά ακόμα. Αλλά θεωρώ ότι τα παραπάνω είναι αρκετά για να φανεί ότι μιλάμε διαφορετική γλώσσα και επομένως κάθε συζήτηση μεταξύ μας ,σχετικά με το θέμα αυτό, θα ήταν περιττή.
Φιλικά.

Μού θυμίζει κάποιους δασκάλους που έλεγαν σε μαθητές: "Ότι και να σού πω δεν παίρνεις από λόγια, οπότε δεν έχει νόημα να ασχολούμαι μαζί σου".

Ειλικρινά λυπάμαι για το ύφος αυτού του αποσπάσματος που αδικεί και τον συγγραφέα του. Αλίμονο αν μιλούσαμε μόνο με όσους μιλάνε την "ίδια γλώσσα με εμάς"...