mathematica.gr • 1-1 και επί!

Σελίδα 1 από 1

1-1 και επί!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 01, 2012 6:00 pm

από matha

Έστω $\displaystyle{X,Y}$ μη κενά, πεπερασμένα σύνολα με $\displaystyle{|X|=|Y| }$ και μια συνάρτηση $\displaystyle{f:X\to Y.}$
Να αποδειχθεί ότι

η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ αν και μόνο αν είναι επί.

Re: 1-1 και επί!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 01, 2012 6:26 pm

από giannisn1990

Aς είναι $X={ x_{1},...,x_{n} }$ και $Y={y_{1},...,y_{n}}$ δυο πεπερασμένα σύνολα με |X|=|Y|=n

|X|=|Y|=n

έστω

μια 1-1 απεικόνιση .Για να δείξω ότι είναι επί αρκεί f(X)=Y

f(X)=Y

πράγματι αφού f 1-1 θα ισχύει $f(x_{1}) \neq f(x_{2})\neq ...\neq f(x_{n}) \neq f(x_{1})$ άρα |f(X)|=n

|f(X)|=n

.Ακόμη $f(X) \subset Y$ και |f(X)|=|Y|=n

|f(X)|=|Y|=n

άρα

f(X)=Y

και συνεπώς f είναι επί

αν

είναι επί τότε $(\forall y )(\exists x)(y=f(x))$ από τη στιγμή που τα

,

έχoυν

διακεκριμένα στοιχεία τότε το

που βρίσκουμε θα είναι και μοναδικό άρα f 1-1

* Σήμερα έδινα το μάθημα της Θεωρίας Συνόλων και έπεσε αυτό το θέμα

Re: 1-1 και επί!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 01, 2012 6:30 pm

από Κοτρώνης Αναστάσιος

$(\Rightarrow)$ Έστω ότι είναι 1-1

1-1

αλλά όχι επί. Τότε

$\displaystyle{|X|\stackrel{1-1}{=}\left|\{f(x):x\in X\}\right|\stackrel{*}{<}|Y|}$ άτοπο.

Η

δεν είναι επί και $|Y|<\infty$ .

$(\Leftarrow)$ Έστω ότι είναι επί αλλά όχι 1-1

1-1

. Τότε

$\displaystyle{|Y|\stackrel{**}{=}\left|\{f(x):x\in X\}\right|\stackrel{***}{<}|X|}$ άτοπο.

H

είναι επί,

Η

δεν είναι

1-1

και $|X|,|Y|<\infty$ .