mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 18, 2014 11:06 pm**

Για κάθε

πραγματικό και $\kappa ,\lambda \in N^{*}$ ισχύει $(x^{\kappa })^{\frac{1}{\lambda }}=x^{\frac{\kappa }{\lambda }}$ .

Σωστό ή λάθος;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 18, 2014 11:29 pm**

Λάθος, διότι αν ήταν σωστό θα είχαμε, για παράδειγμα,

$\display (-1)^{\frac{2}{3}} = ((-1)^{2})^{1/3}=1^{1/3}=1$

Όμως ισχύει

$\display (-1)^{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 19, 2014 1:17 am**

Καλησπέρα μια προσπάθεια στο

.

Είναι:
${\left[\ (-1)^{6} \right]}^{\frac{1}{2}}=1$ όμως $(-1)^{\frac{6}{2}}=(-1)^{3}=-1$ . 'Αρα η ιδιότητα δεν ισχύει σε όλο το

Επομένως η αρχική πρόταση είναι λάθος!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 19, 2014 2:21 am**

Για να απαντήσουμε αν είναι σωστό ή λάθος, πρέπει πρώτα να ορίζονται τα δύο μέλη. Το 2ο μέλος όμως δεν ορίζεται για χ<0 και εκθέτη μη ακέραιο και έτσι το ερώτημα είναι χωρίς νόημα.
Επειδή στα ερωτήματα τύπου Σ - Λ υπάρχουν πολλές διαφωνίες, αναρτώ μια εισήγησή μου που παρουσίασα στο ΔΙΗΜΕΡΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ που διοργάνωσε η ΟΕΦΕ τις 23 και 24/11/2013 στις Σέρρες.
Θα υπάρξουν σίγουρα διαφωνίες από συναδέλφους και γι αυτό νομίζω ότι το θέμα θα προκαλέσει πολλές συζητήσεις.
Στην 2η παράγραφο της εισήγησής μου με τίτλο ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΥ Σ -Λ υπάρχουν σχετικά θέματα για συζήτηση.
Παρόμοιο πρόβλημα είχα δει στο mathemetica πριν πολύ καιρό στο οποίο ζητούνταν το όριο της εφ(1/χ) όταν χ τείνει στο 0. Έγιναν και εκεί διάφορα σχόλια. Η απάντηση έπρεπε να ήταν και εκεί ότι το εν λόγω όριο δεν έχει νόημα αφού το όριο συνάρτησης ορίστηκε με κάποιες προϋποθέσεις για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης που για την συνάρτηση αυτή δεν ίσχυαν. Δεν παρακολούθησα όλη τη συζήτηση και δεν γνωρίζω ποιο ήταν το τελικό συμπέρασμα.

Νίκος Ιωσηφίδης
Μαθηματικός - Φροντιστής
Βέροια
iossifid@yahoo.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 19, 2014 9:37 am**

ΝΛΙ έγραψε:Για να απαντήσουμε αν είναι σωστό ή λάθος, πρέπει πρώτα να ορίζονται τα δύο μέλη.
Το 2ο μέλος όμως δεν ορίζεται για χ<0 και εκθέτη μη ακέραιο και έτσι το ερώτημα είναι χωρίς νόημα.

Εφ'όσον βρέθηκε αντιπαράδειγμα που δεν ισχύει η πρόταση (πάντα),
δεν χρειάζεται περαιτέρω ανάλυση. Επεξηγηματικά βέβαια του γιατί δεν ισχύει, είναι ότι δεν ορίζεται.

Ο εκθέτης του δεύτευρου μέλους δεν έχει πρόβλημα αφού στην παράγραφο των ριζών, ορίζεται και ο ρητός εκθέτης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 19, 2014 10:01 am**

Το 2ο μέλος όμως δεν ορίζεται για χ<0 και εκθέτη μη ακέραιο και έτσι το ερώτημα είναι χωρίς νόημα.

Φυσικά και ορίζεται:

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... lex_powers

Αυτό το ‘παράδοξο’ το συναντάμε στα περισσότερα βιβλία μιγαδικής ανάλυσης. Παρόμοια παράδοξα βασίζονται
στο γεγονός ότι οι δυνάμεις αυτές ενδέχεται να δίνουν ως αποτέλεσμα ένα σύνολο αριθμών που αντιστοιχεί σε
όλες τις πολικές γωνίες θ της βάσης w. Για να είμαστε ακριβείς λοιπόν ισχύει:

$(-1)^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}\left (log1+i(1+2k)\pi \right ) }$ για κάθε $k\in \mathbb{Z}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 19, 2014 10:28 am**

paulgai έγραψε: Φυσικά και ορίζεται:

pito έγραψε:Για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Εννοείται ότι η απάντηση δίνεται στους πραγματικούς

mathematica.gr

Σωστό-λάθος

Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος