mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 25, 2021 6:24 pm**

Αν $\displaystyle{A= \frac{2 \sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{2}-1}}$

τότε να δείξετε ότι: $\displaystyle{A\geq 14+5ln2 }$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 25, 2021 7:07 pm**

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 25, 2021 6:24 pm
Αν $\displaystyle{A= \frac{2 \sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{2}-1}}$

τότε να δείξετε ότι: $\displaystyle{A\geq 14+5ln2 }$

Να το βελτιώσουμε: Δείξτε ότι $\displaystyle{A> 18 > 14+5\ln2 }$ .

Έχω σχετικά σύντομες αποδείξεις και των δύο ανισοτήτων που έγραψα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Φεβ 25, 2021 7:50 pm**

$\displaystyle A > 18 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt[6]{2}}}{{\sqrt[6]{2} - 1}} > 18 \Leftrightarrow 18 > 16\sqrt[6]{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{8}} \right)^3} > \sqrt 2 \Leftrightarrow 1.4238... > \sqrt 2$ που ισχύει.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 27, 2021 6:43 pm**

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 25, 2021 6:24 pm
Αν $\displaystyle{A= \frac{2 \sqrt[6]{2}}{\sqrt[6]{2}-1}}$

τότε να δείξετε ότι: $\displaystyle{A\geq 14+5ln2 }$

.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 25, 2021 7:07 pm
Να το βελτιώσουμε: Δείξτε ότι $\displaystyle{A> 18 > 14+5\ln2 }$ .

Έχω σχετικά σύντομες αποδείξεις και των δύο ανισοτήτων που έγραψα.

Επειδή μπήκε γενίκευση της άσκησης εδώ, γράφω λύση του άλλου μισού της άσκησης που έμεινε αναπάντητο.

Θέλουμε να δείξουμε $\displaystyle{4 > 5\ln2 }$ , ισοδύναμα $\ln 2 < \dfrac {4}{5}$ . Θα το βελτιώσουμε δείχνοντας $\ln 2 < \dfrac {3}{4}< \dfrac {4}{5}$ , ισοδύναμα $4\ln 2 <3$ ή αλλιώς $\ln 16 < 3$ και πάλι ισοδύναμα e^3 >16

.

Έχουμε $e^3 > 2,7 \times 2,7 \times 2,7 = 19,683 >16$ , όπως θέλαμε.

mathematica.gr

Μια πρώτη εκτίμηση...

Μια πρώτη εκτίμηση...

Re: Μια πρώτη εκτίμηση...

Re: Μια πρώτη εκτίμηση...

Re: Μια πρώτη εκτίμηση...