mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 25, 2024 11:32 pm**

Το γαλάζιο και το κόκκινο χωρίο του σχήματος είναι το καθένα το εσωτερικό
ενός τετραγώνου. Τα δυο αυτά τετράγωνα είναι τα σύνορα των χωρίων αυτών.
Edit: Δηλαδή το γαλάζιο δεν είναι μόνο αυτό που φαίνεται στο σχήμα,
είναι ολόκληρο το τετράγωνο, μαζί με αυτό που είναι και κάτω από το κόκκινο!

Δυο οποιεσδήποτε διαδοχικές κορυφές του συνόρου του κόκκινου χωρίου
είναι συνευθειακές με μια από τις κορυφές του συνόρου του γαλάζιου χωρίου.

Το γαλάζιο χωρίο έχει εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν του κόκκινου.

Να υπολογιστεί η γωνία $\phi$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 26, 2024 12:34 am**

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 25, 2024 11:32 pm
Το γαλάζιο και το κόκκινο χωρίο του σχήματος είναι το καθένα το εσωτερικό
ενός τετραγώνου. Τα δυο αυτά τετράγωνα είναι τα σύνορα των χωρίων αυτών.

Δυο οποιεσδήποτε διαδοχικές κορυφές του συνόρου του κόκκινου χωρίου
είναι συνευθειακές με μια από τις κορυφές του συνόρου του γαλάζιου χωρίου.

Το γαλάζιο χωρίο έχει εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν του κόκκινου.

Να υπολογιστεί η γωνία $\phi$

Αν

η πλευρά του τετραγώνου, τότε κάθε γαλάζιο τρίγωνο έχει εμβαδόν $\frac {1}{2} (a\sin \phi)(a\cos \phi) = \frac {1}{4} a^2\sin 2\phi$ .

Αφού Γαλάζιο + Κόκκινο = a^2

και Γαλάζιο = 2 Κόκκινα, έπεται ότι Γαλάζιο = $\frac {2}{3}$ Τετραγώνου. Με άλλα λόγια

Τρίγωνα = $\frac {2}{3}$ Τετραγώνου, ή αλλιώς $a^2\sin 2\phi = \frac {2}{3} a^2$ .

Έπεται $\phi = \frac {1}{2} \arcsin \frac {2}{3} \approx 20,9^o$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 26, 2024 2:10 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 12:34 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 25, 2024 11:32 pm
Το γαλάζιο και το κόκκινο χωρίο του σχήματος είναι το καθένα το εσωτερικό
ενός τετραγώνου. Τα δυο αυτά τετράγωνα είναι τα σύνορα των χωρίων αυτών.

Δυο οποιεσδήποτε διαδοχικές κορυφές του συνόρου του κόκκινου χωρίου
είναι συνευθειακές με μια από τις κορυφές του συνόρου του γαλάζιου χωρίου.

Το γαλάζιο χωρίο έχει εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν του κόκκινου.

Να υπολογιστεί η γωνία $\phi$
Αν η πλευρά του τετραγώνου, τότε κάθε γαλάζιο τρίγωνο έχει εμβαδόν $\frac {1}{2} (a\sin \phi)(a\cos \phi) = \frac {1}{4} a^2\sin 2\phi$ .

Αφού Γαλάζιο + Κόκκινο = και Γαλάζιο = 2 Κόκκινα, έπεται ότι Γαλάζιο = $\frac {2}{3}$ Τετραγώνου. Με άλλα λόγια

Τρίγωνα = $\frac {2}{3}$ Τετραγώνου, ή αλλιώς $a^2\sin 2\phi = \frac {2}{3} a^2$ .

Έπεται $\phi = \frac {1}{2} \arcsin \frac {2}{3} \approx 20,9^o$

Ομολογώ πως η εκφώνησή μου δεν είναι πετυχημένη...
Το κόκκινο τετράγωνο πατάει πάνω σε ένα γαλάζιο τετράγωνο!
Δηλαδή το γαλάζιο δεν είναι μόνο αυτό που φαίνεται στο σχήμα, αλλά και αυτό που είναι κάτω από το κόκκινο!
(αλλιώς το γαλάζιο χωρίο δεν θα ήταν εσωτερικό τετραγώνου,
αλλα θα είχε ως σύνορο δυο τετράγωνα, εσωτερικό σύνορο και εξωτερικό σύνορο!)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 26, 2024 9:13 am**

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 26, 2024 9:30 am**

Έστω

η πλευρά του γαλάζιου τετραγώνου. Αν κατάλαβα καλά την εκφώνηση, το άθροισμα

των τεσσάρων γαλάζιων τριγώνων θα ισούται με το μισό εμβαδόν του τετραγώνου. Άρα,

$\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{2}(2a\sin \varphi )(2a\cos \varphi ) = 2{a^2} \Leftrightarrow 2\sin 2\varphi = 1,$ απ' όπου $\boxed{\varphi=15^\circ}$

mathematica.gr

Ερυθρόν εν κυανώ

Ερυθρόν εν κυανώ

Re: Ερυθρόν εν κυανώ

Re: Ερυθρόν εν κυανώ

Re: Ερυθρόν εν κυανώ

Re: Ερυθρόν εν κυανώ