mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 17, 2025 1:01 pm**

: Ίσες διαδρομές.png (17.95 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές

Τα δύο ημικύκλια του σχήματος είναι ομόκεντρα .Υπολογίστε την ακτίνα

, ώστε για

τα εφαπτόμενα τμήματα : SP , ST

, να προκύπτει : SP+PA=ST+TA

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 18, 2025 5:03 am**

: Ίσες διαδρομές.png (29.24 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Εφαρμόζοντας διαδοχικά το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle OPS$ και στο $\triangle OTS$ λαμβάνουμε $SP = 2\sqrt{r+1}$ και $ST = \sqrt{2r+3}$

Ενώ εφαρμόζοντας διαδοχικά το νόμο συνημιτόνων στο $\triangle POA$ και στο $\triangle TOA$ λαμβάνουμε:

$PA^2 = 2r^2\left(1+\cos\varphi\right) \overset{ \cos\varphi = \frac{r}{r+2} }\Leftrightarrow PA = 2r\sqrt{ \dfrac{r+1}{r+2} }$ και

$TA^2 = r^2 + (r+1)^2 + 2r(r+1)\cos\theta\overset{\cos\theta = \frac{r+1}{r+2}}\Leftrightarrow TA = \sqrt{r^2 + \dfrac{3r+2}{r+2}\cdot(r+1)^2}$

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στο δεδομένο και με χρήση λογισμικού λαμβάνουμε ότι $r \approx 5,48266$

mathematica.gr

Ίσες διαδρομές

Ίσες διαδρομές

Re: Ίσες διαδρομές