mathematica.gr • Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών

Σελίδα 1 από 1

Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Σεπ 16, 2023 6:24 pm

από ksofsa

Μια ιδιοκατασκευή:

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι $p\geq 3$ , ώστε να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z

x,y,z

, τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες ισοτιμίες:

$xyz\equiv 1(modp)$

$xy+yz+zx\equiv 3(modp)$

$x^2+y^2+z\equiv x^2+y+z^2\equiv 0(modp)$ .

Re: Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 19, 2023 12:45 pm

από ksofsa

Δίνω υπόδειξη σε απόκρυψη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Re: Μη γραμμικό σύστημα ισοτιμιών

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 19, 2023 9:28 pm

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ksofsa έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2023 6:24 pm
Μια ιδιοκατασκευή:

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι $p\geq 3$ , ώστε να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι ακόλουθες ισοτιμίες:

$xyz\equiv 1(modp)$

$xy+yz+zx\equiv 3(modp)$

$x^2+y^2+z\equiv x^2+y+z^2\equiv 0(modp)$ .

Στην ουσία έχουμε να λύσουμε το σύστημα

xyz=1

xyz=1

xy+yz+zx=3

x^2+y^2+z=0

x^2+y+z^2=0

στο $\mathbb{Z}_{p}$ που είναι σώμα.

Από τις τελευταίες δύο σχέσεις παίρνουμε ότι y=z

y=z

η

y+z=1

1)

y=z

Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι
x=y=z=1,p=3

x=y=z=1,p=3

η

y=z=9,x=3,p=11

2)

y+z=1

Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι
y=3,z=-2,x=-2,p=11

y=3,z=-2,x=-2,p=11

η

y=-2,z=3,x=-2,p=11

Να σημειώσω ότι τα παραπάνω ισχύουν αν λύσουμε το σύστημα σε οποιοδήποτε σώμα
χαρακτηριστικής

.