mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 26, 2011 5:32 pm**

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^x+x^5-1}$

(α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται
(β) Να υπολογίσετε το $\displaystyle{f^{-1}(e)}$

Να λυθούν:

(γ) $\displaystyle{f(e^x+1)=f(2-x^5)}$
(δ) $\displaystyle{e^{2x}-e^x+31x^5=0}$
(ε) $\displaystyle{e^{f(x)}+f^5(x)-1=f(x^5)}$
(στ) $\displaystyle{f^{-1}(e^x)}\geq x}$
(ζ) $\displaystyle{f(x)<f^{-1}(0)}$
(η) $\displaystyle{f(x^2-1)>f(1-x)}$
(θ) $\displaystyle{e^{x^2-3}+(x^2-3)^5\leq 1}$
(ι) $\displaystyle{e^{2x}-x^{10}\leq e^{x^2}-32x^{5}}$

εως 17 Νοέμβρη 2011

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 27, 2011 9:55 am**

α) Η

έχει πεδίο ορισμού το

,επίσης είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγισίμων με πρώτη παράγωγο $f'(x)=e^{x}+5x^{4}$ . f'(x)>0

για κάθε $x\in R$ .Συνεπώς η

γνησίως αύξουσα στο

.H

λοιπόν είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα) και συνεχής άρα και αμφιμονοσήμαντη (1-1),συνεπώς αντιστρέφεται.

β) 'Εχω $f(x)=e^{x}+x^{5}-1\Leftrightarrow f^{-1}(f(x))=f^{-1}(e^{x}+x^{5}-1)\Leftrightarrow x=f^{-1}(e^{x}+x^{5}-1)$ για x=1

παίρνω
$1=f^{-1}(e+1-1)\Leftrightarrow f^{-1}(e)=1$ .

γ) $f(e^{x}+1)=f(2-x^{5})\Leftrightarrow e^{x}+1=2-x^{5}$ ( αφού η f(x)

1-1),ισοδύναμα $e^{x}+x^{5}-1=0$ δηλαδή f(x)=0

.H

γνησίως μονότονη (αύξουσα) και για x=0

έχω

.'Αρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης η x=0

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 12, 2011 12:29 am**

ε)Όπου χ βάζω f(x)

αρα $f(f(x))=e^{f(x)}+(f(x))^{5}-1$

Οπότε $f(f(x))=f(x^{5})$ αφού η f αντιστρέφεται θα είναι και 1-1 αρα

$f(f(x))=f(x^{5})\Leftrightarrow f(x)=x^{5}\Leftrightarrow e^{x}+x^{5}-1=x^{5}\Leftrightarrow e^{x}=1\Leftrightarrow x=0$

στ) $f^{-1}(x)\geq x\Leftrightarrow f(f^{-1}(e^{x}))\geq f(x)$ αφού η f γν.αυξουσα
$e^{x}\geq e^{x}+x^{5}-1\Leftrightarrow x\leq 1$

ζ) $f(x)<f^{-1}(0)$ (f γν αυξουσα) $\Leftrightarrow fof(x)<0\Leftrightarrow$ (f(0)=0) fof(x)<f(0)

(f γν αύξουσα) $\Leftrightarrow f(x)<0\Leftrightarrow e^{x}+x^{5}-1<0$

$e^{x}+x^{5}-1=0$ όταν χ=0 και επειδή ειναι γν αύξουσα η λύση είναι μοναδική.

Και κάνοντας πινακάκι με ριζα το 0 έχουμε $x\epsilon(-\infty,0)$

θ) $e^{x^{2}-3}+(x^{2}-3)^{5}-1\leq 0$
$f(x^{2}-3)=e^{x^{2}-3}+(x^{2}-3)^{5}-1$
f(0)=0

$f(x^{2}-3)\leq f(0)$ (f γν αύξουσα)
$x^{2}-3\leq0$

$x\epsilon (-\sqrt{3},\sqrt{3})$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 12, 2011 6:20 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 12, 2011 6:34 pm**

ι) $e^{2\chi }-\chi ^{10}\leq e^{\chi ^{2}} -32\chi ^{5}\Leftrightarrow e^{2\chi } +32\chi ^{5} +1\leq e^{\chi ^{2}} +\chi ^{10} +1\Leftrightarrow f(2\chi )\leq f(\chi ^{2}) \Leftrightarrow 2\chi \leq \chi ^{2} \Leftrightarrow \chi (\chi -2)\geq 0\Leftrightarrow \chi \geq 2 \eta \chi \leq 0$
διότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\Re$ .

mathematica.gr

10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)