mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 17, 2015 12:32 pm**

: Έλεγχος τύπου.png (5.15 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Για τον υπολογισμό της διαμέσου

του σχήματος , χρησιμοποιούμε τον τύπο : $m^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Για να είναι ο τύπος έγκυρος , πρέπει να είναι : 2b^2+2c^2-a^2>0

. Δείξτε ότι αυτό , πράγματι , ισχύει .

Αλλά το θέμα πρέπει να απαντηθεί πριν τις εκλογές .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 19, 2015 3:45 pm**

Έστω τα δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τη διάμεσο και χωρίζουν την BC σε δύο ίσα μέλη = d
εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημίτονων στα τρίγωνα ΑΒΜ και CAM παίρνουμε

$\displaystyle{c^2 = m^2 + d^2 - 2dmcos\vartheta}$ (1)
$\displaystyle{b^2 = d^2 + m^2 - 2dmcos\theta' \Leftrightarrow b^2 = d^2 + m^2 + 2dmcos\theta}$ (2)

προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) (2) παίρνουμε $\displaystyle{b^2 + c^2 = 2d^2 + 2m^2}$ (3)

Η εξίσωση μας :

$\displaystyle{m^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{2} \Leftrightarrow m^2 = \frac{2(b^2 + c^2 - \frac{1}{2}a^2)}{4}\Leftrightarrow 2m^2 = b^2 + c^2 - \frac{1}{2}a^2}$ (4)

οπότε παίρνουμε $\displaystyle{2d = a \Leftrightarrow 4d^2 = a^2 \Leftrightarrow 2d^2 = \frac{1}{2}a^2}$ (5)

από (4) , (5) παίρνουμε ότι η εξίσωση μας ισούται με $\displaystyle{2m^2 = b^2 + c^2 - 2d^2 \Leftrightarrow 2m^2 + 2d^2 = b^2 + c^2}$ που ισχύει από την (3)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 19, 2015 4:55 pm**

Καλησπέρα.

Ας πω ότι το συμπέρασμα προκύπτει επίσης από την ανισότητα $\displaystyle{2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}}$ ,που ισχύει για όλους τους πραγματικούς,και την τριγωνική ανισότητα.

mathematica.gr

Εγκυρότητα τύπου

Εγκυρότητα τύπου

Re: Εγκυρότητα τύπου

Re: Εγκυρότητα τύπου