mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Σύστημα

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=56798

Σελίδα 1 από 1

Σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 15, 2016 5:06 pm
από JimNt.
Να βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p) όπου x,y θετικοί ακέραιοι και p πρώτος, που ικανοποιούν το σύστημα:
x^2-y^2=p
3xy+(x-y)p=p^2
Για Juniors (δεν βάζω προθεσμία, είμαι σίγουρος ότι θα απαντηθεί αμέσως... )

Re: Σύστημα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 15, 2016 5:46 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

x^2-y^2=p \Rightarrow (x-y)(x+y)=p και επειδή ο p είναι πρώτος, προκύπτει ότι x-y=1 και ότι x+y=p, δηλαδή ότι x=y+1 καιp=2y+1.

Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι:

3y(y+1)+2y+1=(2y+1)^2 \Rightarrow 3y^2+5y+1=4y^2+4y+1 \Rightarrow y^2-y=0 και επειδή ο y είναι θετικός προκύπτει ότι y=1

Άρα έχουμε την τριάδα λύσεων:

(x, y , p)=(2, 1, 3)
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/