Σελίδα 1 από 1

Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 25, 2016 7:35 pm
από M.S.Vovos
Έστω n\in \mathbb{N}, η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} και η ομαλή (άπειρες φορές παραγωγίσιμη) συνάρτηση g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}. Αν f(0)=g^{(n)}(0)=0 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύουν: f'(x)\neq 0 \hspace{4mm} (1)

\displaystyle \left ( \frac{f\circ g^{(n)}}{f'\circ g^{(n)}} \right )(x)=g^{(n+1)}(x) \hspace{4mm} (2)
Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης g.

Φιλικά,
Μάριος


Μέχρι 30/12/2016.

Re: Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 03, 2017 1:33 am
από M.S.Vovos
Επαναφορά και για τους μεγάλους! :)

Re: Γ' λυκείου: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 03, 2017 4:23 am
από andreas576
M.S.Vovos έγραψε:Έστω n\in \mathbb{N}, η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} και η ομαλή (άπειρες φορές παραγωγίσιμη) συνάρτηση g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}. Αν f(0)=g^{(n)}(0)=0 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύουν: f'(x)\neq 0 \hspace{4mm} (1)

\displaystyle \left ( \frac{f\circ g^{(n)}}{f'\circ g^{(n)}} \right )(x)=g^{(n+1)}(x) \hspace{4mm} (2)
Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης g.

Φιλικά,
Μάριος


Μέχρι 30/12/2016.
Αν ονομάσουμε h(x)=(f\circ g^{(n)})(x) τότε από την (2) έχουμε οτι
h(x)=h'(x) άρα h(x)=ce^{x} με c\in R .Αφού f(0)=g^{(n)}(0)=0 τότε h(0)=0 άρα c=0
και τελικά h(x)=0, \forall x\in R.
Αφού f'(x)\neq 0 , \forall x\in R τότε f 1-1 και άρα (f\circ g^{(n)})(x)=0=f(0)\Leftrightarrow g^{(n)}(x)=0 , \forall x\in R
Άρα η g είναι πολυώνυμο το πολυ n-1 βαθμού