Σελίδα 1 από 1

Άσκηση στα όρια (5)

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 05, 2019 11:35 pm
από Παύλος Μαραγκουδάκης
Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty} τότε:

(1) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}

(2) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}

Μέχρι τη Δευτέρα

Re: Άσκηση στα όρια (5)

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2019 1:35 pm
από harrisp
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Παρ Ιούλ 05, 2019 11:35 pm
Να αποδείξετε ότι αν \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty} τότε:

(1) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}

(2) \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}

Μέχρι τη Δευτέρα
(1) Από την γνωστή x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}

γράφουμε f(x)^2+f(y)^2\geq \dfrac {(f(x)+f(y))^2}{2} και παίρνοντας τα όρια στο συν άπειρο προκύπτει η ζητούμενη.

(2) Ισχύει επίσης
x^2+y^2\geq 2xy ή x^2-xy+y^2\geq xy ή

x^3+y^3\geq (x+y)xy ή

3x^3+3y^3\geq 3x^2y+3xy^2

ή 4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3 άρα

(x^3+y^3)\geq \dfrac {(x+y)^3}{4} οπότε με την ίδια λογική με το (1) προκύπτει το ζητούμενο.