mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 28, 2022 8:08 pm**

Για την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{1}{2}e^{1-\sqrt{x}}+2$

α) Βρείτε το σύνολο τιμών της ... β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$

Μέχρι το τέλος Απριλίου απαντήσεις μόνο από μαθητές .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 29, 2022 11:40 am**

Καλημέρα!
α) Έχουμε $D_{f}=[0,+\infty)$
Για κάθε $x\in(0,+\infty)$ :
$f'(x)=-\frac{e^{1-\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}}<0, \forall x>0$
οπότε η

γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της
Εύρεση συνόλου τιμών:
$f([0,+\infty))=(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x), f(0)]=(2,\frac{4+e}{2}]$ , διότι

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{2}e^{1-\sqrt{x}}+2=2+\frac{1}{2}e\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-\sqrt{x}}$ και θέτοντας $\sqrt{x}=u, \lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{2}}=+\infty$ οπότε $u\rightarrow +\infty$ . Eπομένως

$\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-\sqrt{x}}=\lim_{u\rightarrow +\infty}e^{-u}=0$
και, προφανώς, με απλή αντικατάσταση στον τύπο της

λαμβάνουμε ότι $f(0)=\frac{4+e}{2}$

β) Είναι $\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}e^{1-\sqrt{x}}+2)dx$
Θέτοντας $u=\sqrt{x}$
$x_{1}=0\rightarrow u_{1}=0$
$x_{2}=1\rightarrow u_{2}=1$
$du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Άρα το ολοκλήρωμα μετά την αντικατάσταση γίνεται:
$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(e^{1-u}+4)u du=\int_{0}^{1}(ue^{1-u}+4u)du=[ -e^{1-1}(1+1)+2*1^2]-[-e^{1-0}+2*0^2]=e$

mathematica.gr

Διαχειρίσιμο ναρκοπέδιο

Διαχειρίσιμο ναρκοπέδιο

Re: Διαχειρίσιμο ναρκοπέδιο