Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

#1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=(0,01)^{x}$ . Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x)

τέμνει την γραφική παράσταση της αντιστρόφου της ( $f^{-1}(x)$ ) σε τρία (3) διαφορετικά σημεία.

#2

$\color{brown}f^{-1}(x)=-\dfrac{\ln{x}}{2\,\ln{10}}\,, \ x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ . Θεωρώντας τήν συνάρτηση $\color{brown}g(x)=f(x)-f^{-1}(x)=\dfrac{1}{100^x}+\dfrac{\ln{x}}{2\,\ln{10}}\,, \ x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ , αυτή έχει παράγωγο

$\color{brown}g^{\prime}(x)={-\dfrac {2\,\ln 10}{{100}^{x}}}+\dfrac {1}{2x\,\ln{10}}$ καί μηδενίζεται στά $\color{brown}x_0=-\dfrac{{\rm{LambertW}}\left({-\frac{1}{2\ln{10}}}\right)}{2\ln{10}}$ καί $\color{brown}x_1=-\dfrac{{\rm{LambertW}}\left({-1,\,-\frac{1}{2\ln{10}}}\right)}{2\ln{10}}$ , όπου παρουσιάζει τοπικό μέγιστο καί τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα.

Επειδή $\color{brown}g({x_0})\approx0,1487>0$ , $\color{brown}g({x_1})\approx-0,0508<0$ καί $\color{brown}\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0}^{+}}g(x)=-\infty$ , $\color{brown}\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}g(x)=+\infty$ , έπεται ότι η συνεχής συνάρτηση $\color{brown}g$ μηδενίζεται ακριβώς τρείς φορές.

#3

1) Γρηγόρη, ευχαριστούμε πολύ που ασχολήθηκες με το θέμα, δώσε μας όμως λίγες πληροφορίες αν θα ήθελες για την LambertW έκφραση που γράφεις.

2) Για την συνάρτηση $f(x)=\alpha ^{x}$ ισχύει το εξής: αν $0<\alpha <\approx 0,07$ τότε υπάρχουν τρία σημεία τομής (με την αντίστροφό της), σε άλλη περίπτωση μόνον ένα (ελέγχθηκε με το mathematica)!!

#4

Καλή σας μέρα
Το θέμα είναι παρόμοιο με το viewtopic.php?f=50&p=14756#p14756.
Γενικά σε σχετική εργασία του που δημοσιεύθηκε στον Ευκλείδη Β' (download/file.php?id=2697) ο Μπάμπης Τουμάσης αποδεικνύει, με στοιχειώδη μέσα, ότι για $0<a<e^{-e}=0,066$ οι γραφικές παραστάσεις των $f\left( x\right) =a^{x}$ και $f^{-1}\left( x\right) =\log _{a}x$ έχουν τρία κοινά σημεία.
Μαυρογιάννης

#5

Persona_Non_Grata έγραψε:...δώσε μας όμως λίγες πληροφορίες αν θα ήθελες για την LambertW έκφραση που γράφεις....

Μία πρός τό παρόν αναφορά: Lambert_W_function

#6

!!

Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Re: Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Re: Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Re: Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Re: Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Re: Σημεία τομής συνάρτησης με την αντίστροφό της.

Μέλη σε σύνδεση