mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 27, 2011 12:04 pm**

Υπάρχει 1-1 και συνεχής συνάρτηση που να απεικονίζει το μοναδιαίο τετράγωνο
$I \times I$ στο I=[0,1]

;
Μαυρογιάννης

__________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Συνεχής, 1-1, μοναδιαίο, διάστημα , τετράγωνο
__________________________________________________________

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 27, 2011 12:48 pm**

Νίκο θα κάνω μια απόπειρα που μπορεί να μην είναι και σωστή, αλλά θέλω να δοκιμάσω αν δεν με έχει εγκαταλείψει η μνήμη μου:
Αν εξαιρέσουμε από το κλειστό μοναδιαίο τετράγωνο τρία οποιαδήποτε σημεία θα προκύψει ένα συνεκτικό σύνολο

. Συνεπώς το f(A)

πρέπει να είναι συνεκτικό
Αλλά το f(A)

, ακόμη και στην περίπτωση που οι εικόνες των δύο εκ των τριών σημείων είναι τα άκρα του [0,1] θα είναι ένα σύνολο της μορφής $(0,c) \cup (c,1)$ , όπου c η εικόνα του τρίτου σημείου, το οποίο δεν είναι συνεκτικό σύνολο.
Άρα η απάντηση είναι αρνητική

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 27, 2011 1:23 pm**

Ας δούμε και μια άλλη λύση:
Θα χρησιμοποιήσω το εξής λήμμα (Νομίζω πως έχει συζητηθεί. Σε αντίθετη περίπτωση θα αναρτήσω απόδειξη)*
Το [0,1]δεν μπορεί να γραφεί ως ένωση μιας οικογένειας ξένων μεταξύ τους κλειστών διαστημάτων

Έρχομαι στην απόδειξη:

Για κάθε $a \in [0,1]$ ορίζω την συνεχή συνάρτηση $f_a: [0,1] \to [0,1], f_a(x)=f(a,x)$

Είναι προφανές ότι το f_a([0,1])=I_a

είναι ένα κλειστό διάστημα.

Επίσης άμεση συνεπεια του 1-1 της

είναι το ότι $a\neq b \Rightarrow I_a \cap I_b= \varnothing$

Άρα αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση θα πρέπει το [0,1] να γράφεται ως ένωση μιας οικογένειας ξένων ανά δύο

κλειστών διαστημάτων, το οποίο είναι άτοπο.

*viewtopic.php?f=9&t=5251

Φιλικά

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 27, 2011 10:10 pm**

Ίδια ιδέα με την πρώτη λύση του Σπύρου αλλά πιο απλά:

Έστω $(x,y) \in I \times I$ με f(x,y) = 1/2

. Τότε η $f:I \times I \setminus \{(x,y)\} \to [0,1/2) \cup (1/2,1]$ είναι συνεχής, άτοπο, αφού το $I \times I \setminus \{(x,y)\}$ είναι συνεκτικό ενώ το $[0,1/2) \cup (1/2,1]$ όχι.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 27, 2011 10:47 pm**

Σπύρο, Δημήτρη ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις. Γράφω μία απόδειξη που δεν είναι δική μου.Την είδα στην Τοπολογία του Λέλεκ και ανήρτησα το θέμα κυρίως για να την μοιραστώ μαζί σας. Είναι απλή και χρησιμοποιεί πολύ στοιχειώδη μέσα. Ας υποθέσουμε ότι τέτοια συνάρτηση υπάρχει. Ας ονομάσουμε a=(0,0)

,

τις "κάτω" κορυφές του $I\times I$ .

: one to one.png (22.82 KiB) Προβλήθηκε 1436 φορές

Θα είναι $f\left( a\right) \neq f\left( b\right)$ . Ας πούμε ,χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $f\left( a\right) <f\left( b\right)$ . Ο περιορισμός

της

στο τμήμα

είναι ουσιαστικά μία συνεχής συνάρτηση από το

στο

και επομένως έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής. Άρα υπάρχει

εσωτερικό του τμήματος

ώστε

. Η αντίστροφη εικόνα $A=f^{-1}\left( \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) \right)$ του $\left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right)$ είναι ανοικτό σύνολο που περιέχει το

. Επομένως θα υπάρχει κάποιος κύκλος με κέντρο το

που θα η τομή του

με το $I\times I$ περιέχεται στο