mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 02, 2016 2:16 am**

Επιλέγουμε τυχαία τρεις αριθμούς από το διάστημα [0,1]

.
Ζητείται η πιθανότητα οι αριθμοί αυτοί να είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.

Ευθύμης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 02, 2016 4:39 am**

Είναι πολύ κλασσικό, θα το αφήσω για άλλον.
Έγραψα ένα σκριπτάκι σε ματλαμπ (τρέχει και σε οκταβ) που το μοντελοποιεί.

clc;clear all;
n = input('Enter the number of simulations: ');
is_triangle = 0;
cum_prob_is_triangle = zeros(1,n);
for ii = 1 : n 
    x = rand();
    y = rand();
    z = rand();
    if x + y < z
        is_triangle = is_triangle + 1;
    elseif x + z < y
        is_triangle = is_triangle + 1;
    elseif y + z < x
        is_triangle = is_triangle + 1;
    end
    cum_prob_is_triangle(ii) = is_triangle / ii;
end
p = is_triangle / n;
fprintf('Probability computed from simulation: %.5f\n',p);
xaxis = 1 : n;
figure;
plot(xaxis , cum_prob_is_triangle,'linewidth',2,'color',[0,0.7,0.9]);
hold on;plot([0 n],[1/2,1/2],'linewidth',2.5,'color','red');
axis([0 n 0 1]);
xlabel ('Number Of Simulations');
ylabel ('Cumulative Probability Of Getting A Triangle');
hold off;

Για ν = 1000 επαναλήψεις θα πάρετε ένα σχήμα όπως το παρακάτω.

: untitled.png (4.23 KiB) Προβλήθηκε 4289 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 23, 2022 11:54 pm**

Επαναφορά!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 24, 2022 1:31 am**

Για κάθε τυχαία επιλεγμένη τριάδα $a,b,c \in [0,1]$ κοιτάμε τον πιο μεγάλο, έστω

. Mε τα μήκη αυτά μπορούμε να φτιάξουμε τρίγωνο αν και μόνον αν b+c>a

. Στο κατρεσιανό επίπεδο αυτό σημαίνει ότι το σημείο (b,c)

είναι στην γκρι περιοχή η οποία ορίζεται πάνω από την ευθεία x+y=a

. Αντίστροφα, αν το (b,c)

είναι στην λευκή περιοχή του τετραγώνου, τότε δεν φτιάχνουμε τρίγωνο. Αλλά η γκρι περιοχή είναι όσο η λευκή. Άρα η πιθανότητα να φτιάξουμε τρίγωνο είναι $\dfrac {1}{2}$ . Συμβαίνει το ίδιο για κάθε $a\in [0,\,1]$ , οπότε η πιθανότητα είνα τελικά $\dfrac {1}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 24, 2022 9:13 am**

Μια εναλλακτική λύση:

Έστω $S=\{(a,b,c) | \, 0 \leq a,b,c \leq 1 \, \text {\gr και} \, a,b,c \, \text{\gr πλευρές τριγώνου} \}$ και $T=\{(a,b,c) | \, 0 \leq a,b,c \leq 1 \, \text {\gr και} \, a,b,c \,\, \text{\gr όχι πλευρές τριγώνου} \}$ .

Θα δείξουμε ότι υπάρχει μία ένα προς ένα και επί απεικόνιση $f: S \rightarrow T$ , οπότε θα είναι |S|=|T|

, και αφού τα σύνολα S,T

είναι προφανώς μια διαμέριση του [0,1]

(είναι $S \cap T=\emptyset$ και $S \cup T=[0,1]$ ), έχουμε ότι η πιθανότητα μια τριάδα (a,b,c)

να ανήκει στο

είναι

.

Έστω μία τριάδα $(a,b,c) \in S$ , και WLOG $a=\max(a,b,c)$ . Τότε, ορίζουμε f((a,b,c))=(a,a-b,a-c)

. Είναι προφανώς $0 \leq a \leq 1$ και $0 \leq a-b \leq a \leq 1$ , $0 \leq a-c \leq a \leq 1$ .

Επίσης, είναι (a-b)+(a-c)=2a-(b+c) < a

, όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι $(a,b,c) \in S$ . Άρα $(a,a-b,a-c) \in T$ . Αντίστροφα, έστω μία τριάδα $(a,b,c) \in T$ όπου WLOG $a= \max(a,b,c)$ , τότε προφανώς $(a,a-b,a-c) \in S$ .

Άρα, υπάρχει ένα προς ένα και επί απεικόνιση $f : S \rightarrow T$ , συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι πράγματι 1/2