mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 16, 2013 12:58 am**

Με αφορμή αυτό προτείνω τα εξής:

(Ι) Να δειχθεί ότι η προβολή έλλειψης σε επίπεδο παράλληλο προς έναν από τους άξονες της είναι έλλειψη.

(ΙΙ) Να δειχθεί ότι η τομή ελλειπτικού ορθού κώνου από επίπεδο παράλληλο προς έναν από τους άξονες της βάσης του είναι έλλειψη.

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 17, 2013 2:15 am**

Έστω η έλλειψη με εστίες τα σημεία $E_{1}$ και $E_{2}$ ένα επίπεδο προβολής, το οποίο είναι παράλληλο προς την ευθεία $E_{1}E_{2}$ , όπως στο συνημμένο σχήμα.
Ονομάζουμε $P_{1}$ και $P_{2}$ τις προβολές των εστιών της έλλειψης στο επίπεδο προβολής.
Θεωρούμε δύο τυχαία σημεία της έλλειψης

και

, τα οποία προβάλλουμε στο επίπεδο προβολής.
Έστω $A_{1}$ και $A_{2}$ οι αντίστοιχες προβολές τους.
Αν ισχύει η ιδιότητα $P_{1}A_{1} + P_{2}A_{1} = P_{1}B_{1} + P_{2}B_{2}$ ,
τότε πρόκειται για σημεία έλλειψης, λόγω του ορισμού του σχήματος αυτού.
Έστω

η οξεία γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της έλλειψης με το επίπεδο προβολής.
Τότε ισχύουν
$P_{1}A_{1} + P_{2}A_{1} = E_{1}Acos(x) + E_{2}Acos(x)=cos(x)[E_{1}A+E_{2}A]$
$P_{1}B_{1} + P_{2}B_{1} = E_{1}Bcos(x) + E_{2}Bcos(x)=cos(x)[E_{1}B+E_{2}B]$
όμως τα σημεία

και

είναι σημεία της έλλειψης, άρα ισχύει η ισότητα: $E_{1}A +E_{2}A =E_{2}B + E_{2}B$
Αυτό σημαίνει ότι και τα προβαλλόμενα σημεία $A_{1}$ , $A_{2}$ είναι kai ayt;a σημεία έλλειψης με εστίες τα σημεία $P_{1}$ , $P_{2}$ .

Μένει η απόδειξη του 2ου ερωτήματος που έθεσε ο φίλος Γιώργος. Και αύριο μέρα είναι.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 17, 2013 2:19 am**

Δυστυχώς,
τα σχήματά μου είναι πολύ "άτεχνα". Αν μπορεί κάποιος από τους επιμελητές να τα διορθώσει,
τουλάχιστον να μην είναι μεγάλα σαν "τούβλα", θα του είχα υποχρέωση.
Φιλικά,
Ανδρέας πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 20, 2013 1:29 pm**

Ο Γιώργος Μπαλόγλου σε φιλικό προσωπικό μήνυμα μου έγραψε τα εξής:

Ανδρέα μήπως σου ξέφυγε η παρατήρηση μου (παρακάτω) για το πρόβλημα των κωνικών (ίσως και λόγω διαφορετικού τίτλου μηνύματος);
Για δες το πάλι, τώρα το Σαββατοκύριακο, καθώς η λύση σου για το πρώτο ερώτημα δεν μου φαίνεται σωστή. Οι γωνίες αλλάζουν ανάλογα με την κατεύθυνση!
Ακριβέστερα, αν τα επίπεδα Π και Π' σχηματίζουν γωνία x τότε η γωνία ανάμεσα σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του Π και στην προβολή του Α'B' στο Π'
ισούται προς x μόνον όταν το επίπεδο AA'B'B είναι κάθετο προς αμφότερα τα Π και Π'.

Πράγματι, το πρόβλημα θέλει αντιμετώπιση από την αρχή. Θα το προσπαθήσω, αν και δεν είμαι σίγουρος ότι θα τα καταφέρω.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Απρ 21, 2013 11:34 pm**

Επιχειρώ μία απάντηση στο 1ο ερώτημα.
Έστω σημείο M(x, y)

της αρχικής έλλειψης και K(x1, y1)

η προβολή του.
Επειδή το επίπεδο στο οποίο προβάλλεται η έλλειψη είναι παράλληλο προς άξονα των εστιών της,
τα άκρα

,

του μεγάλου άξονα, το κέντρο

της έλλειψης και οι εστίες

θα προβάλλονται στα σημεία

,

σε τέτοιες θέσεις που διατηρούν τις αρχικές αποστάσεις.
Δηλαδή, A1B1 = 2a

,

,

κλπ.
Επίσης, η απόσταση του σημείου

από προβαλλόμενο μικρό άξονα της αρχικής έλλειψης είναι η ίδια με αυτή του σημείου

από τον αντίστοιχο μικρό άξονα.
Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου

είναι

. Αν ονομάσουμε

τη γωνία μεταξύ των δύο επιπέδων θα έχουμε $y_{1}=y.cosk$

Στο τύπο $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ αντικαθιστούμε μόνο το

και παίρνουμε τη σχέση $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}cos^{2}k}=1$ .

Η σχέση αυτή δείχνει ότι η προβολή

του τυχαίου σημείου

της αρχικής έλλειψης ανήκει επίσης σε έλλειψη
με μήκος μεγάλου άξονα όσο και ο αρχικός και μήκος μικρού άξονα 2bcosk

.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 23, 2013 12:42 am**

Aνδρέα θέλει περισσότερη δουλειά*:

Ας προβάλουμε την έλλειψη $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , a>b

, στο επίπεδο z=(tank)(y+b)

, παράλληλο προς τον άξονα των

(που περιέχει τις εστίες της έλλειψης λόγω της a>b

) και διερχόμενο -- για απλοποίηση των υπολογισμών χωρίς περιορισμό της γενικότητας -- από το άκρο της έλλειψης (0, -b, 0)

. Είναι φανερό, όπως άλλωστε παρατήρησες, ότι ο μεγάλος άξονας της έλλειψης προβάλλεται σε ισομήκες και παράλληλο τμήμα, ενώ ο μικρός άξονας της έλλειψης προβάλλεται σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2b(cosk)

ορθογώνιο προς αυτόν και διερχόμενο από το (0, -b, 0)

.

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η προβολή είναι έλλειψη, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων τυχόντος σημείου της προβολής από δύο συγκεκριμένα σημεία είναι σταθερό. Εύκολα προκύπτει (βλέπε συνημμένο) ότι o άξονας των

προβάλλεται στην ευθεία y=-b(sin^2k), z=b(sink)(cosk)

. Είναι επομένως εύλογο να εικάσουμε ότι οι εστίες της έλλειψης-προβολής θα είναι οι (u, -b(sin^2k), b(sink)(cosk))

και

, όπου, λόγω των μηκών των εικαζομένων αξόνων (βλέπε προηγούμενη παράγραφο), u^2=a^2-b^2cos^2k

.

Επεκτείνοντας λίγο τον υπολογισμό της προηγουμένης παραγράφου (βλέπε συνημμένο και πάλι) παρατηρούμε ότι το τυχόν σημείο (x, y, 0)

της $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ προβάλλεται στο (x', y', z')=(x, y-(y+b)(sin^2k), (y+b)(sink)(cosk))

.

Αρκεί επομένως να δειχθεί, υποθέτοντας $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ και u^2=a^2-b^2cos^2k

, η

$2a=\sqrt{(x-u)^2+((y-(y+b)(sin^2k)-(-bsin^2k))^2+((y+b)(sink)(cosk)-b(sink)(cosk))^2}+$

$+\sqrt{(x+u)^2+((y-(y+b)(sin^2k)-(-bsin^2k))^2+((y+b)(sink)(cosk)-b(sink)(cosk))^2},$

ή, ύστερα από πολύ λίγες πράξεις,

$2a=\sqrt{(x-u)^2+y^2cos^2k}+\sqrt{(x+u)^2+y^2cos^2k},$

που όντως ισχύει.

*και έχουμε μόνον αποδείξει το μισό του πρώτου ερωτήματος (επίπεδο προβολής παράλληλο προς τον μεγάλο άξονα)

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 23, 2013 11:32 pm**

Γιώργο,
δεν νομίζω ότι απαιτείται τόση δουλειά.
Για να δείξουμε ένα σημείο (x, y)

ανήκει σε μία έλλειψη (με κέντρο την αρχή των αξόνων)
δεν είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι άθροισμα των αποστάσεων του σημείου αυτού από τις εστίες τις έλλειψης είναι σταθερό.
Αυτό είναι ο ορισμός.
Αν το σημείο ικανοποιεί την σχέση $\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1$ ,
όπου

,

δύο σταθερές θετικές ποσότητες διαφορετικές μεταξύ τους, τότε αυτό ανήκει σε έλλειψη με άξονες που έχουν μήκος

και

.
Για το 2ο ερώτημα προς το παρόν ....
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Με την ευκαιρία να κάνουμε μέσα στην επόμενη εβδομάδα συνάντηση με τους παρεπιδημούντες στην Συμπρωτεύουσα σε ακτίνα 150 km. (Γραμματέας ο Θάνος;).
Οι υπόλοιποι είναι μάλλον εκτός πεδίου ορισμού.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 24, 2013 2:08 pm**

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Γιώργο,
δεν νομίζω ότι απαιτείται τόση δουλειά.
Για να δείξουμε ένα σημείο ανήκει σε μία έλλειψη (με κέντρο την αρχή των αξόνων)
δεν είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι άθροισμα των αποστάσεων του σημείου αυτού από τις εστίες τις έλλειψης είναι σταθερό.
Αυτό είναι ο ορισμός.
Αν το σημείο ικανοποιεί την σχέση $\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}=1$ ,
όπου , δύο σταθερές θετικές ποσότητες διαφορετικές μεταξύ τους, τότε αυτό ανήκει σε έλλειψη με άξονες που έχουν μήκος και .

Ανδρέα ας μην ξεχνάμε ότι βρισκόμαστε στον τρισδιάστατο χώρο: η εξίσωση $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{(bcosk)^2}=1$ αντιπροσωπεύει ορθό ελλειπτικό κύλινδρο ... που απλώς συμβαίνει να έχει βάση ισόμοια προς την προβολή της αρχικής έλλειψης!

Να το πω αλλιώς, το τυχόν σημείο επί της προβολής της αρχικής έλλειψης ΔΕΝ ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση.

...Αλλά τελικά ΝΑΙ, η ιδέα σου μπορεί να αξιοποιηθεί αν παρατηρήσουμε ότι το τυχόν σημείο (x', y', z')=(x, y-(y+b)sin^2k, (y+b)sinkcosk)

επί της προβολής της αρχικής έλλειψης βρίσκεται στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+bsin^2k)^2}{(bcosk)^2}+\frac{(z-bsinkcosk)^2}{(bcosk)^2}=1$ (με άξονες { y=-bsin^2k, z=bsinkcosk

} (προβολή του άξονα των

), {

}, {

}):

$\displaystyle\frac{x'^2}{a^2}+\frac{(y'+bsin^2k)^2}{(bcosk)^2}+\frac{(z'-bsinkcosk)^2}{(bcosk)^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2cos^4k}{b^2cos^2k}+\frac{y^2sin^2kcos^2k}{b^2cos^2k}=1$

Είναι λοιπόν η προβολή της αρχικής έλλειψης η τομή ενός ελλειψοειδούς με ένα επίπεδο που περιέχει έναν από τους άξονες του, άρα είναι έλλειψη!

Γιώργος Μπαλόγλου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 29, 2013 6:50 pm**

gbaloglou έγραψε:*και έχουμε μόνον αποδείξει το μισό του πρώτου ερωτήματος (επίπεδο προβολής παράλληλο προς τον μεγάλο άξονα)

Σωστά

Όταν το επίπεδο προβολής είναι παράλληλο προς τον μικρό άξονα της έλλειψης τα πράγματα ζορίζουν* ... ίσως όχι και τόσο πολύ με βάση τις παραπάνω τεχνικές πάντως

[Είναι γνωστό ότι η προβολή έλλειψης σε τυχόν επίπεδο είναι έλλειψη, εδώ παρουσιάζω δύο ειδικές περιπτώσεις για διδακτικούς σκοπούς, αργότερα ίσως προχωρήσουμε -- αναλυτικά πάντα, μακάρι και γεωμετρικά -- και στην γενική περίπτωση. (Όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, δεν γνωρίζω αν περνάει και εκεί η γενίκευση, αν είναι δηλαδή έλλειψη η τυχούσα τομή ορθού ελλειπτικού κώνου (κώνου με βάση έλλειψη).)]

*στην περίπτωση αυτή οι εστίες της καινούργιας έλλειψης δεν κείνται υποχρεωτικά επί της προβολής του μεγάλου άξονα της αρχικής έλλειψης!

Γιώργος Μπαλόγλου

mathematica.gr

Κωνικά ερωτήματα

Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα

Re: Κωνικά ερωτήματα