mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 18, 2012 11:01 pm**

Τι μέρος του τετραγώνου καταλαμβάνει το τετραγωνίδιο ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 18, 2012 11:57 pm**

Και ωραίο θεματάκι στα εμβαδά (και Πυθαγόρειο) Β΄ Γυμνασίου θα το έλεγα.

Μια "μαθηματική" λύση:

Αν

η πλευρά του τετραγωνιδίου, τότε η διαγώνιος του είναι $\displaystyle x\sqrt{2}=\frac{a}{5}\Rightarrow x^2=\frac{a^2}{50}$ , οπότε το εμβαδόν του είναι το $\displaystyle \frac{1}{50}$ του μεγάλου τετραγώνου.

Υπάρχει, πρακτική-διασκεδαστική λύση;

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 12:26 am**

Είναι "οπτική" παγίδα. Αν δεν έχω κάνει λάθος, βρίσκω ότι το εμβαδόν του τετραγωνιδίου είναι ίσο με $\displaystyle \frac{a^{2}}{41},$ όπου

είναι η πλευρά του δοσμένου τετράγώνου.

Προκύπτει εύκολα, ότι η πλευρά του τετραγωνιδίου είναι ίση με το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με $\displaystyle \frac{a}{5}$ και $\displaystyle \frac{a}{4}$

Κώστας Βήττας.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 9:28 am**

Καλημέρα. Θα συμφωνήσω με τον Κώστα, πρόκειται για οφθαλμαπάτη…

: Τετραγωνίδιο.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Είναι $4\left( {DMC} \right) + {E_{yellow}} = {a^2}$ . Αλλά $HC = \displaystyle\frac{{a\sqrt {41} }}{5},\,DM = \displaystyle\frac{{DH \cdot DC}}{{HC}} = \displaystyle\frac{{4a\sqrt {41} }}{{41}}$ και $\left( {DMC} \right) = \displaystyle\frac{{\left( {CDH} \right)D{M^2}}}{{D{H^2}}} = \ldots = \displaystyle\frac{{10{a^2}}}{{41}}$ . Έτσι ${E_{yellow}} = \displaystyle\frac{{{a^2}}}{{41}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 10:23 am**

Γιώργο ελπίζω να το διασκέδασες

: Πράγματι είναι "οπτική παγίδα" και η σωστή απάντηση είναι αυτή των δύο επόμενων λυτών .

Να και μια απλούστερη εκδοχή : Τι μέρος του τετραγώνου καταλαμβάνει τώρα το τετραγωνίδιο . Τα νούμερα εντυπωσιάζουν !

: Δέκατο τρίτο.png (6.15 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 12:26 pm**

KARKAR έγραψε:Γιώργο ελπίζω να το διασκέδασες : Πράγματι είναι "οπτική παγίδα" και η σωστή απάντηση είναι αυτή των δύο επόμενων λυτών .

Θανάση, ΠΡΑΓΜΑΤΙ είναι άκρως διασκεδαστικό!

Δοκίμασα να κάνω το σχήμα, αντιγράφοντας το δικό σου στο Corel, όπως το συνηθίζω, συμπληρώνοντας τις γραμμές που θέλω.

Όμως ...

έβγαινε θεόστραβη η διαγώνιος. Για να μην εκθέσω τον αγαπητό Θανάση

και επειδή βαριόμουν να ξανασχεδιάσω το σχήμα από την αρχή, έδωσα την "απάντησή" μου στεγνή και ΙΔΟΥ τα αποτελέσματα....

ΗΘΙΚΟΝ ΔΙΔΑΓΜΑ: Αν είχα κάνει το σχήμα στο Geogebra, θα έβλεπα ότι κάτι δεν πάει καλά με το σχήμα

Επιτρέπεται η χρήση του ανωτέρω ατυχήματος για (καθαρά) διδακτικούς σκοπούς!

Θανάση, δώσε κι άλλα!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 3:15 pm**

KARKAR έγραψε:Τι μέρος του τετραγώνου καταλαμβάνει το τετραγωνίδιο ;

.

.
$\triangle AZB \sim BCD \rightarrow ZB:AZ=CD:CB=a : \frac{4}{5}a= \frac{5}{4} \rightarrow AZ=\frac{4}{5}ZB=\frac{4}{5}x$

Πυθαγόρειο στο AZB

$ZB^2+AZ^2=AB^2 \leftrightarrow x^2+ (\frac{4}{5}x)^2=(\frac{a}{5})^2 \leftrightarrow E=x^2=a^2:41$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 19, 2012 8:49 pm**

Ας δούμε τη γενική περίπτωση.

Έστω $\boxed{\displaystyle DE = x = \frac{a}{n}}$ $\displaystyle{$ (

n = 1,\ 2,\ 3,\ ...

)

Z\equiv DG\cap EH,

H

E

AB

\displaystyle \frac{DE}{HG} = \frac{EZ}{ZH}

$\Longrightarrow$

$\boxed{\displaystyle EZ = y = \frac{a}{n - 1}}\ \ \ (1)$ , όπου $\displaystyle ZH = a - y$ και $\displaystyle HG = a - \frac{2a}{n}$

: Τετραγωνίδιο.; f=44_t=32048.PNG (23.16 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle EDZ,$ σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε $(DZ)^{2} = z^{2} = (DE)^{2} + (EZ)^{2} = x^{2} + y^{2}$

$\Longrightarrow$ $\boxed{\displaystyle DZ = z = \frac{a\sqrt{n^{2} + (n - 1)^{2}}}{n(n - 1)}}\ \ \ (2)$

Η πλευρά MN = u,

του τετραγωνιδίου KLMN,

ισούται με το ύψος

του $\vartriangle EDZ$ .

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle EDZ,\ \vartriangle FDE$ έχουμε $\displaystyle \frac{EF}{EZ} = \frac{DE}{DZ}$ $\Longrightarrow$ $\boxed{\displaystyle EF = MN = u = \frac{a}{\sqrt{n^{2} + (n - 1)^{2}}}}\ \ \ (3)$

Άρα, ο γενικός τύπος για το εμβαδόν του τετραγωνιδίου KLMN

είναι $\boxed{\displaystyle E_{n} = u^{2} = \frac{a^{2}}{n^{2} + (n - 1)^{2}}}$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί.

Εφαρμογή, για n = 5

$\Longrightarrow$ $\boxed{\displaystyle E_{5} = \frac{a^{2}}{41}}$ και για n = 3

$\Longrightarrow$ $\boxed{\displaystyle E_{3} = \frac{a^{2}}{13}}$

Κώστας Βήττας.

mathematica.gr

Τετραγωνίδιο

Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο

Re: Τετραγωνίδιο