ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #21

ΆΣΚΗΣΗ 79
Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της
Α.
$f'(x)=(xe^{1/x})'=...=e^{1/x}\cdot\frac{x-1}{x} , x\neq 0$

Επίσης $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$ ενώ για , x=0

δεν ορίζεται η

Το πρόσημο της

ορίζεται απο το πρόσημο του $\frac{x-1}{x}$ έτσι έχουμε για :

$x\prec0 \Rightarrow f'(x)>0$
$x\in(0,1) \Rightarrow f'(x) <0$
$x\in(0,+\infty) \Rightarrow f'(x) > 0$

οπότε $\forall x\in (-\infty,0) f(x) \nearrow \forall x\in(0, 1] f(x) \searrow \forall x \in [1. +\infty) f(x) \nearrow$

Επομένως η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 1 το

Επίσης $A=lim_{x\rightarrow 0^+}f(x) = lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{e^{1/x}}{1/x}=lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{(e^{1/x})'}{(1/x)'}=lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{e^{1/x}(\frac{1}{x})'}{(\frac{1}{x})'}= lim_{x\rightarrow 0^+}e^{1/x}=+\infty$

$B=lim_{x\rightarrow 0^-}f(x) = 0\cdot 0 = 0 C=lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty D=lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = - \infty$

Άρα το ακρότατο της συνάρτησης είναι τοπίκό.

Β. Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη με
$f''(x) = ... = e^{1/x}\cdot\frac{1}{x^3} f''(x) \prec 0 \Leftrightarrow x\in(-\infty,0) f''(x) \succ0 \Leftrightarrow x \in(0,+\infty)$

Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο $(0 , +\infty)$ και κοίλη στο $(-\infty,0)$

Γ. Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο Δ1 = $( -\infty,0)$ άρα $f(\Delta_1)=(D,B)=(-\infty,0)$
Η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ2 = (0,1]

άρα $f(\Delta_2)=[e,A)=[e,+\infty)$
Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο Δ3 = $[ 1,+\infty,0)$ άρα $f(\Delta_3)=[e,C)=[e,+\infty)$

¨αρα το σύνολο τιμών είναι το $f(\Delta)=(-\infty,0)U[e,+\infty)$

Δ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η εξίσωση $e^{x}=\frac{\alpha}{x}$ ορίζεται $x\neq0$
και ισοδύναμα γράφεται f(x)

= $\alpha$ (1)
Θεωρώ την ευθεία $Y=\alpha$ με $\alpha\in{R}$ . Όταν το α μεταβάλλεται η ευθεία μετατοπίζεται παράλληλα του xx'

άξονα. Έτσι το πλήθος των κοινών σημείων της C_f

με την

α έιναι όσo και το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης (1)
έτσι όταν $\alpha<0$ τότε η εξίσωση έχει 1 λύση
όταν $\alpha=0$ η εξίσωση είναι αδύνατη
όταν $\alpha=e$ η εξίσωση έχει μία λύση
όταν $0<\alpha<e$ η εξίσωση είναι αδύνατη
όταν $\alpha>e$ η εξίσωση έχει δύο λύσεις.

edit : διόρθωσα το εκ παραδρομής λάθος στο σύνολο τιμών που άλλωστε εχω λάβει το σωστό στο Δ.

apotin · #22

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 79

¨αρα το σύνολο τιμών είναι το $f(\Delta)=(-\infty,0)U(0,+\infty)$

Έχω ένα πρόβλημα με την εμφάνιση του σχήματος ...

Πρόσεξε Γιάννη
το σύνολο τιμών που βρήκες είναι το $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right) \cup \left[ {e, + \infty } \right)}$
και η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω.

: 79.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 1995 φορές

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #23

STOPJOHN έγραψε: Άσκηση 80

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τη συνθήκη $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x_0 + 3h) - f(x_0 - 2h)}}{h} = - 10x_0 e^{f(x_0 )} }$ τότε

α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

β. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα -κυρτά

γ. Να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής

(Από το βιβλίο Γεώργιος Κομπότης Θεματογραφία Μαθηματικών Γ Λυκείου)

ΛΥΣΗ

α. Έχουμε $\displaystyle{f'(x_0 ) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0 )}}{h}}$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 + 3h) - f(x_0 )}}{h}\mathop = \limits^{\scriptstyle 3h = u \hfill \atop {\scriptstyle h \to 0 \hfill \atop \scriptstyle u \to 0 \hfill}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f(x_0 + u) - f(x_0 )}}{{\frac{u}{3}}} = 3\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f(x_0 + u) - f(x_0 )}}{u} = 3f'(x_0 ) }$

Και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 - 2h) - f(x_0 )}}{h}\mathop = \limits^{\scriptstyle - 2h = u \hfill \atop {\scriptstyle h \to 0 \hfill \atop \scriptstyle u \to 0 \hfill}} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f(x_0 + u) - f(x_0 )}}{{\frac{{ - u}}{2}}} = - 2\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{f(x_0 + u) - f(x_0 )}}{u} = - 2f'(x_0 ) }$

Οπότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_0 + 3h) - f(x_0 - 2h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {\frac{{f(x_0 + 3h) - f(x_0 )}}{h} - \frac{{f(x_0 - 2h) - f(x_0 )}}{h}} \right) = 3f'(x_0 ) - ( - 2f'(x_0 )) = 5f'(x_0 ) }$

Επομένως $\displaystyle{5f'(x_0 ) = - 10x_0 e^{f(x_0 )} \Leftrightarrow f'(x_0 ) = - 2x_0 e^{f(x_0 )} }$

Αρα η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη με $\displaystyle{\boxed{f'(x) = - 2xe^{f(x)}} }$

Οπότε $\displaystyle{f'(x) = - 2xe^{f(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{{ - 2x}}{{e^{ - f(x)} }} \Rightarrow f'(x)e^{ - f(x)} = - 2x \Rightarrow \left( {e^{ - f(x)} } \right)^\prime = \left( {x^2 } \right)^\prime \Rightarrow e^{ - f(x)} = x^2 + c }$

Για $\displaystyle{x = 0}$ έχουμε $\displaystyle{e^{ - f(0)} = c \Rightarrow e^0 = c \Rightarrow \boxed{ c = 1}}$

Συνεπώς $\displaystyle{e^{ - f(x)} = x^2 + 1 \Leftrightarrow \ln e^{ - f(x)} = \ln \left( {x^2 + 1} \right) \Leftrightarrow - f(x) = \ln \left( {x^2 + 1} \right) \Leftrightarrow \boxed{f(x) = - \ln \left( {x^2 + 1)}} }$ που επαληθεύει την σχέση.

β.

$\displaystyle{f(x) = - \ln (x^2 + 1),x \in R}$

Η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{\boxed{f'(x) = \frac{{ - 2x}}{{x^2 + 1}}},x \in R}$

$\displaystyle{f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 2x}}{{x^2 + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0}$

$\displaystyle{f'(x) > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 2x}}{{x^2 + 1}} > 0 \Leftrightarrow x < 0}$

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty )}$

Η $\displaystyle{{f'}}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{\boxed{f''(x) = \frac{{2(x^2 - 1)}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }}},x \in R}$

$\displaystyle{f''(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2(x^2 - 1)}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1}$ ή $\displaystyle{x = 1}$

$\displaystyle{f''(x) > 0 \Leftrightarrow \frac{{2(x^2 - 1)}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^2 }} > 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty , - 1) \cup (1, + \infty )}$

Επομένως η $\displaystyle{f}$ στρέφει τα κοίλα άνω στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$ και στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$ .Ενω στρέφει τα κοίλα κάτω στο $\displaystyle{[ - 1,1]}$

: 80.png (5.76 KiB) Προβλήθηκε 1973 φορές

γ. Η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $\displaystyle{x_0 = 0}$ με τιμή $\displaystyle{f(0) = 0}$

Η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει σημεία καμπής στα $\displaystyle{A( - 1, - \ln 2)}$ και $\displaystyle{B(1, - \ln 2)}$

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #24

Συνέχεια της 79
Για το όριο του ε ερωτήματος έχουμε οτι οι συναρτήσεις f(1/x)

και

ορίζονται κοντά στο

οπότε έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου. Επίσης

$f(\frac{1}{x})-\frac{ln(x+1)}{x^2}= \frac{1}{x}\cdot{e^x}-\frac{ln(x+1)}{x^2} = \frac{xe^x-ln(x+1)}{x^2}$

οπότε $lim_{x\rightarrow0}(f(\frac{1}{x})-\frac{ln(x+1)}{x^2}) = lim_{x\rightarrow0}(\frac{xe^x-ln(x+1)}{x^2}) =(0/0) = lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x+xe^x-\frac{1}{x+1}}{2x} =(0/0)= lim_{x\rightarrow0} \frac{2e^x+xe^x+\frac{1}{(x+1)^2}}{2}= 3/2$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #25

ΑΣΚΗΣΗ 81η

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = (x - 2)e^{ - x} + 2x^2 - 3x + 2,x \in R}$

α. Να βρεθούν $\displaystyle{{f'}}$ και $\displaystyle{{f''}}$

β. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής.

γ. Να μελετήσετε την $\displaystyle{f}$ ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$

ε. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 0}$ και να προσδιορίσετε το πρόσημο της $\displaystyle{f}$

στ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $\displaystyle{C_f }$

Από σημειώσεις του κ.Μπ.Στεργίου, με τίτλο γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ΄(21/5/2008)

pito · #26

ΑΣΚΗΣΗ 82η

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{-x}+x-1$ .

α) Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^{x}(x-1)=e^{x}a-1$ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

γ) Να δείξετε ότι $e^{-x}<1-x+\frac{x^{2}}{2}, x>0$ .

δ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=f(x^{2})+lnx$

dennys · #27

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 82
1) $f '(x)=-e^{-x}+1 \Rightarrow f '(x)=0 \Rightarrow x=0$ και για x>0,f '(x)>0

και για

.
Ετσι η συνάρτηση ειναι : $f(x)\nearrow [0,+\infty)$ και $f(x)\searrow (-\infty,0]$
Εχει ελάχιστο στο $x=0 ,f(0)=0 \Rightarrow f(x)>0$ και μοναδική ρίζα x=0

2)Για να λύσω την εξίσωση διαιρώ με $e^{x}$ και ισοδύναμα εχω f(x)=a

.
Τώρα βρίσκω με ορια το π.τιμών της : $x\in(-\infty,0] f(x) \searrow f(A)=[f(0),lim_x\to{-\infty}f(x))=[0,+\infty)$ ομοια
$x\in[0,+\infty) f(x) \nearrow f(A)=[0,+\infty)$
Ετσι : i)αν a<0

η

ειναι αδύνατη.
ii) αν a=o

εχουμε μια λύση
iii) αν a>0

εχουμε δυο λύσεις μια αρνητικη και μια θετική.
3) Ισοδύναμα γίνεται $f(x)<\cfrac{x^2}{2} \Rightarrow g(x)=f(x)-\cfrac{x^2}{2} \Rightarrow g'(x)=-f(x)<0\Rightarrow g(x) \searrow \Rightarrow, x>0,g(x)<g(0)=0$
4) H εξίσωση μελετάται για x>0

και γράφεται $f(x)+lnx=f(x^2)+ln{x^2}$ προφανής (ματίσια ρίζα ) x=1

και
επειδή αν θεσω $h(x)=f(x)+lnx \Rightarrow h '(x)=f '(x)+\cfrac{1}{x}>0$ η ρίζα είναι μοναδική.Μια εξήγηση για τούς μαθητές μας
ειναι $f ''(x)>0\Rightarrow f '(x)\nearrow$ αρα x>0,f '(x)>f '(0)=0

(και φυσικά και με αλλους τρόπους )

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #28

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 82η

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{-x}+x-1$ .

α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $e^{x}(x-1)=e^{x}a-1$ για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

γ) Να δείξετε ότι $e^{-x}<1-x+\frac{x^{2}}{2}, x>0$ .

δ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=f(x^{2})+lnx$

ΛΥΣΗ

α. $\displaystyle{f(x) = e^{ - x} + x - 1,x \in R}$

Η $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $\displaystyle{f'(x) = - e^{ - x} + 1}$

$\displaystyle{f'(x) = 0 \Leftrightarrow - e^{ - x} + 1 = 0 \Leftrightarrow - e^{ - x} = - 1 \Leftrightarrow e^{ - x} = e^0 \Leftrightarrow x = 0}$

$\displaystyle{f'(x) > 0 \Leftrightarrow - e^{ - x} + 1 > 0 \Leftrightarrow - e^{ - x} > - 1 \Leftrightarrow e^{ - x} < e^0 \Leftrightarrow - x < 0 \Leftrightarrow x > 0}$

Επομώνως η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{( - \infty ,0]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty )}$ .

Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση $\displaystyle{x_0 = 0}$ με τιμή $\displaystyle{f(0) = 0}$

Οπότε $\displaystyle{\forall x \in R^* }$ έχουμε $\displaystyle{f(x) > 0}$ και η $\displaystyle{f}$ έχει μοναδική ρίζα την $\displaystyle{x = 0}$

β. Έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{e^{ - x} - 1}}{x}} \right)\mathop = \limits^{DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - e^{ - x} }}{1}} \right) = - \infty }$

Οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {e^{ - x} + x - 1} \right)\mathop = \limits^{ + \infty - \infty } \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x(\frac{{e^{ - x} - 1}}{x} + 1)} \right] = \left( { - \infty } \right)\left( { - \infty } \right) = + \infty }$

Και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {e^{ - x} + x - 1} \right) = + \infty }$

$\displaystyle{A_1 = ( - \infty ,0]}$ και $\displaystyle{f(A_1 ) = [f(0),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)) = [0, + \infty )}$

$\displaystyle{A_2 = (0, + \infty )}$ και $\displaystyle{f(A_2 ) = (f(0),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)) = (0, + \infty )}$

Οπότε η $\displaystyle{f}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{[0, + \infty )}$

$\displaystyle{e^x (x - 1) = \alpha e^x - 1 \Leftrightarrow x - 1 = \alpha - \frac{1}{{e^x }} \Leftrightarrow x - 1 = \alpha - e^{ - x} \Leftrightarrow e^{ - x} + x - 1 = \alpha \Leftrightarrow f(x) = \alpha }$ $\displaystyle{(1)}$

: 82.png (6.29 KiB) Προβλήθηκε 1893 φορές

Έτσι έχουμε τις περιπτώσεις

1η περίπτωση: Για $\displaystyle{\alpha < 0}$ , η $\displaystyle{(1)}$ είναι αδύνατη

2η περίπτωση: Για $\displaystyle{\alpha = 0}$ , η $\displaystyle{(1)}$ έχει λύση την $\displaystyle{x = 0}$

3η περίπτωση: Για $\displaystyle{\alpha > 0}$ , η $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο λύσεις

γ. Θεωρώ $\displaystyle{h(x) = e^{ - x} - 1 + x - \frac{{x^2 }}{2},x \in R}$

Η $\displaystyle{h}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $\displaystyle{h'(x) = - e^{ - x} + 1 - x = - f(x)}$

από πρώτο ερώτημα, γνωρίζουμε οτι για $\displaystyle{\forall x > 0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x) > 0}$

Επομένως $\displaystyle{\forall x > 0}$ έχουμε $\displaystyle{h'(x) < 0}$ , επειδή η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0 = 0}$ ,

Έχουμε οτι η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0, + \infty )}$ . Οπότε για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ έχουμε

$\displaystyle{h(x) < h(0) \Leftrightarrow e^{ - x} - 1 + x - \frac{{x^2 }}{2} < 0 \Leftrightarrow e^{ - x} < 1 - x + \frac{{x^2 }}{2}}$

δ. Η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = f(x^2 ) + \ln x}$ $\displaystyle{(2)}$ , ορίζεται για $\displaystyle{x > 0}$

Η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = f(x^2 ) + \ln x}$ έχει λύση την προφανή $\displaystyle{x =1}$

Για $\displaystyle{0 < x < 1}$ έχουμε $\displaystyle{0 < x^2 < x\mathop \Rightarrow \limits^{f \uparrow } f(x^2 ) < f(x)}$ .Ακόμα $\displaystyle{0 < x < 1}$ έχουμε $\displaystyle{\ln x < 0}$ , οπότε για κάθε $\displaystyle{x \in (0,1)}$ έχουμε $\displaystyle{f(x^2 ) + \ln x < f(x)}$

Για $\displaystyle{x > 1}$ , έχουμε $\displaystyle{1 < x < x^2 \mathop \Rightarrow \limits^{f \uparrow } f(x) < f(x^2 ) }$ Επίσης για $\displaystyle{x > 1}$ έχουμε $\displaystyle{\ln x > 0}$ , οπότε για κάθε $\displaystyle{x > 1}$ έχουμε $\displaystyle{f(x) < f(x^2 ) + \ln x}$

Συνεπώς η $\displaystyle{(2)}$ έχει μοναδική λύση την προφανή $\displaystyle{x =1}$

dennys · #29

ΑΣΚΗΣΗ 83
Εστω οι συναρτήσεις $f,g: R\rightarrow R$ και f(x)=e^x

,

a) να δείξετε οτι η εφαπτομένη της f(x)

στο

εφάπτεται και της g(x)

b) να δειχθεί οτι υπαρχει ακριβώς ενα $a\in(-1,0): e^a+2a+1=0$

c)Αν θέσω h(x)=f(x)-g(x)

να δείξετε οτι : i) $h(x)\ge{a^2}-a-1 ,\forall x \in \mathbb{R}$

ii)Η εξίσωση h(x)=2012

εχει ακριβώς δυο λύσεις
φιλικά dennys

apotin · #30

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...στη χαρά της δημιουργίας...

ΑΣΚΗΣΗ 77

Έστω συνάρτηση $f:[0,\,\,+\infty )\to R$ που είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι

$f(x)+f(f(x))=2x,\,\,$ για κάθε $x\in [0,\,\,+\infty )$

α) Να δείξετε ότι $f(x)\ge 0$ για $x\in [0,\,\,+\infty )$ και ότι .

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{{{e}^{f(x)}}}{f(x)}+\frac{f(x)}{f(x)-1}=0}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,\,\,1)$ .

γ)Αν η είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}=1$ να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της $A(1,\,f(1))$ .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Θα ήθελα τη γνώμη σας για την παρακάτω λύση:

α) Για να είναι σωστά ορισμένη η συναρτησιακή σχέση, στο σημείο που εμφανίζεται η σύνθεση, πρέπει η συνάρτηση να παίρνει μη αρνητικές τιμές. Αυτό αποδεικνύει ότι: $f(x)\ge 0$ για $x\in [0,\,\,+\infty )$

Στη συνέχεια f(0)+f(f(0))=0

, άρα

και

Θα δείξω ότι $\displaystyle{f(x) = x}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{a \ge 0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(a) \ne a}$ .
Αν $\displaystyle{f(a) > a}$ τότε αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε $\displaystyle{f\left( {f(a)} \right) > f(a) > a}$
οπότε $\displaystyle{f(a) + f\left( {f(a)} \right) > a + a = 2a}$ , άτοπο.
Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{f(a) < a}$ .

Άρα $\displaystyle{f(x) = x}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$

β) η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα $\displaystyle{\frac{{{e^x}}}{x} + \frac{x}{{x - 1}} = 0}$

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \left( {x - 1} \right){e^x} + {x^2}}$
Η g είναι συνεχής στο [0, 1]

και

οπότε $\displaystyle{g(0)g(1)<0}$

Άρα σύμφωνα με το Θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,1} \right):g\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{e^{{x_0}}}}}{{{x_0}}} + \frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}} = 0}$

άρα η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον λύση στο (0, 1)

.

γ) είναι f(1)=1

και $\displaystyle{f'(x) = 1 \Rightarrow f'(1) = 1}$
οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο $\displaystyle{A\left( {1,f(1)} \right)}$ είναι η y=x

edit: διόρθωση στην εφαπτομένη και στο (α) μετά από την παρατήρηση εδώ του rek2

dennys · #31

Apotin καλημέρα
ολες οι ασκήσεις "στήνονται " στην βάση κάποιας συνάρτησης f(x)

,
η οποία έχει τις ιδιότητες αυτές. Εσύ βρήκες την f(x)=x

η οποία επαληθεύει την f(x)+f(f(x))=2x

και εκανες την λύση πάνω σ' αυτη.
Ειναι όμως η μοναδική ?? ή υπάρχουν και άλλες ? Γι'αυτό δουλεύουμε γενικά.
πχ. παίρνω f(x)=e^x

και λέω οτι ισχύει f(x)f(y)=f(x+y)

κλπ και ζητάω διάφορα.....
χωρίς να δίνω την f(x)

Eλπίζω να σε βοήθησα λίγο
dennys

Γιώργος Απόκης · #32

Aπόστολε καλό μεσημέρι. Σωστή είναι. Είναι από τις περιπτώσεις (λίγες) που σε τέτοιες ασκήσεις βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης και μετά όλα απλοποιούνται.

Τώρα μάλλον ο θεματοθέτης θα "ήθελε" άλλη αντιμετώπιση...

apotin · #33

Γιώργος Απόκης έγραψε:Aπόστολε καλό μεσημέρι. Σωστή είναι. Είναι από τις περιπτώσεις (λίγες) που σε τέτοιες ασκήσεις βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης και μετά όλα απλοποιούνται.

Τώρα μάλλον ο θεματοθέτης θα "ήθελε" άλλη αντιμετώπιση...

Γιώργο, έχω την ίδια άποψη.

Αποφάσισα να δημοσιεύσω τη λύση μετά από αρκετή σκέψη. Παρ' όλα αυτά θα ήθελα να αναφερθούν κάποιοι με περισσότερη εμπειρία στις συναρτησιακές, αν χρειάζεται κάτι παραπάνω που να την τεκμηριώνει.

Σίγουρα ο Βασίλης θα ήθελε διαφορετική αντιμετώπιση. Ας περιμένουμε για μια διαφορετική λύση.

Ευελπιστώ να γίνει μια χρήσιμη ανταλλαγή απόψεων με αυτή την αφορμή.

parmenides51 · #34

pito έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 82η
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{-x}+x-1$ .
δ) Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=f(x^{2})+lnx$

Μια ανορθόδοξη αντιμετώπιση από το Ροδόλφο εδώ

alexandropoulos · #35

ΑΣΚΗΣΗ 84

Έστω συνάρτηση

με

.
a. Να προσδιορισθεί το σύνολο τιμών της

.
b. Nα δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=-2

έχει μοναδική λύση

Χάρης Γ.Λ. · #36

ΑΣΚΗΣΗ 85

Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $a \in \mathbb{R}_ + ^*$ ,
να δειχθεί ότι : $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}} = \frac{{2a \cdot f'\left( a \right) - f\left( a \right)}}{{2\sqrt a }}$

alexandropoulos · #37

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 85

Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $a \in \mathbb{R}_ + ^*$ ,
να δειχθεί ότι : $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}} = \frac{{2a \cdot f'\left( a \right) - f\left( a \right)}}{{2\sqrt a }}$

Με πρασθαφαίρεση
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}}=$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right)-\sqrt af(a)-\sqrt xf(a) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}}=$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a}\left(\sqrt{a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f(a)\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\right)=$
$=\frac{2af'(a)-f(a)}{2\sqrt{a}}$

perpant · #38

Χάρης Γ.Λ. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 85

Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $a \in \mathbb{R}_ + ^*$ ,
να δειχθεί ότι : $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}} = \frac{{2a \cdot f'\left( a \right) - f\left( a \right)}}{{2\sqrt a }}$

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a f\left( x \right) - \sqrt a f\left( a \right) + \sqrt a f\left( a \right) - \sqrt x f\left( a \right)}}{{x - a}} }$
$\displaystyle{ \mathop { = \lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt a \left( {f\left( x \right) - f\left( a \right)} \right) - f\left( a \right)\left( {\sqrt x - \sqrt a } \right)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\sqrt a \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} - f\left( a \right)\frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt a } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt a } \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt a } \right)}}} \right) }$
$\displaystyle{ \mathop { = \lim }\limits_{x \to a} \left( {\sqrt a \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} - f\left( a \right)\frac{1}{{\sqrt x + \sqrt a }}} \right) = \sqrt a f'\left( a \right) - f\left( a \right)\frac{1}{{2\sqrt a }} }$

EDIT: Με πρόλαβαν

Το αφήνω για τον κόπο

#39

...Καλησπέρα

και ήθελα να ευχαριστήσω τον Απόστολο γιά την ενασχόληση στο Θέμα 77
(....η εφαπτομένη είναι η y=x...)
και τον Γιώργο με τον dennys γιά την συζήτηση πάνω στο θέμα αυτό...
Η αντιμετώπιση του Απόστολου είναι σωστή -εκτός από την εφαπτομένη-και πιστεύω ότι θέλει πολύ εμπειρία κυρίως από τους μαθητές να σκεφθούν να βρουν την f...στο διαγώνισμα που την έβαλα γιά παράδειγμα στο Φροντιστήριο δεν το σκέφθηκε κανείς...γι αυτό θα την αφήσω περιμένοντας την άλλη αντιμετώπιση ώστε να φανούν τα σημεία τα οποία είχαν στόχο τα ερωτήματα...βέβαια αν το σκεφθεί κάποιος μαθητης όπως ο Απόστολος, αξίζει...γι αυτό ας περιμένουμε...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#40

...στην χαρά της δημιουργίας...

ΑΣΚΗΣΗ 86

Έστω συνάρτηση $f:R\to R$ συνεχής και $g:R\to R$ γνήσια αύξουσα ώστε να ισχύει $\ln (f(x))=g(x)$ , για κάθε $x\in R$ .

α) Να δείξετε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο R.

β) Να δείξετε ότι: i) $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(f(1))}^{x}}+{{(f(2))}^{x}}+{{(f(3))}^{x}}}{{{(f(4))}^{x}}-{{(f(2))}^{x}}+{{(f(3))}^{x}}}=0}$ ii) $\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(f(1))}^{x}}+{{(f(2))}^{x}}+{{(f(3))}^{x}}}{{{(f(4))}^{x}}-{{(f(2))}^{x}}+{{(f(3))}^{x}}}=-\infty }$

γ)Αν ισχύει ότι $\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(f(1))}^{x}}-f(1)}{x-1}=2g(1)}$ με $f(1)\ne 1$ να δείξετε ότι $g(1)=\ln 2$ .

δ) Αν f(1)=2

και ισχύει ότι $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty }$ να δείξετε ότι υπάρχει ${{x}_{0}}\in (1,\,\,+\infty )$ ώστε $f({{x}_{0}})=2012$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μέλη σε σύνδεση