Ελάχιστο Γινομένου

Atemlos · #1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος με $\displaystyle{\hat {\rm A} = {90^o}}$ ο εγγεγραμμένος κύκλος του συναντάει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}C}$ στα $\displaystyle{{\rm N},{\rm M}}$ αντίστοιχα.Η ευθεία που περνάει από το κέντρο του κύκλου συναντάει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}C}$ στα σημεία $\displaystyle{P,Q}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του γινόμενου $\displaystyle{AP \cdot AQ}$ .
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι γνωστή και ίση με $\displaystyle{r}$

S.E.Louridas · #2

Αρχικά μία σκέψη σε hide ώστε να ασχοληθούν και άλλοι λύτες με την πραγματικά όμορφη αυτή Άσκηση.
Η άρση της απόκρυψης θα γίνει μετά από επόμενη λύση.

Ας δούμε την διαπραγμάτευση που ακολουθεί και που στηρίζεται στην ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων του σχήματος με άθροισμα υποτεινουσών

που είναι όμοια και με το APQ

:
$\displaystyle{\frac{r} {{AP}} + \frac{r} {{AQ}} = 1 \Rightarrow \frac{1} {{AP}} + \frac{1} {{AQ}} = \frac{1} {r},\quad ct.}$ , άρα το μέγιστο του γινομένου $\displaystyle{\frac{1} {{AP}} \cdot \frac{1} {{AQ}}}$ δηλαδή το ελάχιστο του γινομένου $\displaystyle{AP \cdot AQ}$ ,
παρουσιάζεται όταν $\displaystyle{AP=AQ=2r}$ και επομένως η ελάχιστη τιμή του γινομένου $\displaystyle{AP \cdot AQ}$ είναι 4r^2

edit: Άρση της απόκρυψης και μετά την παρέμβαση του Θανάση και του Θάνου.

KARKAR · #3

: Ελάχιστο γινομένου.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Από τη στιγμή που δίνεται η ακτίνα του εγκύκλου , επικεντρώνουμε μόνο στην ευθεία που διέρχεται από την τέταρτη

κορυφή

του τετραγώνου ANIM

. Αν δεν θυμηθούμε τον τύπο του Σωτήρη , μπορούμε και έτσι :

Από τα όμοια QMI,INP

προκύπτει : $\displaystyle s+t=\frac{st}{r}$ . Αλλά $\displaystyle(s+t)^2\geq 4st\Leftrightarrow st\geq 4r^2$

#4

Και εδώ.

#5

Atemlos έγραψε:Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος με $\displaystyle{\hat {\rm A} = {90^o}}$ ο εγγεγραμμένος κύκλος του συναντάει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}C}$ στα $\displaystyle{{\rm N},{\rm M}}$ αντίστοιχα.Η ευθεία που περνάει από το κέντρο του κύκλου συναντάει τις πλευρές $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}C}$ στα σημεία $\displaystyle{P,Q}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του γινόμενου $\displaystyle{AP \cdot AQ}$ .
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι γνωστή και ίση με $\displaystyle{r}$

: Ελάχιστο γινομένου.png (28.03 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Αν $PN = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,QH = y\,$ από την προφανή ομοιότητα: $\vartriangle NPI \approx \vartriangle HIQ$ θα έχουμε:

$\dfrac{x}{r} = \dfrac{r}{y} \Leftrightarrow \boxed{xy = {r^2}}$ ( σταθερό ). Επειδή

$AP \cdot AQ = (r + x)(r + y) = {r^2} + r(x + y) + xy = r(2r + x + y)$ , προφανώς το γινόμενο

αυτό γίνεται ελάχιστο όταν η ποσότητα $\boxed{S = x + y}$ γίνει ελαχίστη και αφού το

γινόμενο $xy = {r^2}$ το ελάχιστο πιάνεται όταν x = y

δηλαδή

.

Φιλικά Νίκος

jim.jt · #6

Παρόμοια με την λύση του κ. Θανάση:

Από την ομοιότητα των τριγώνων NPI,QMI

, έχουμε $\frac{NP}{NI}=\frac{MI}{MQ}\Leftrightarrow \frac{NP}{r}=\frac{r}{MQ}\Leftrightarrow NP\cdot MQ=r^2$ .

Έτσι έχουμε από AM-GM:
$AP\cdot AQ=(AN+NP)(AM+MQ)=(r+NP)(r+MQ)\geq 4\sqrt{r^2\cdot NP\cdot MQ}=$
=4R^2

Ανδρέας Πούλος · #7

Το θέμα είναι κατάλληλο και για τους μαθητές της Γ τάξης των Λυκείων για εξάσκηση στον Διαφορικό Λογισμό.

Ουσιαστικά το πρόβλημα διατυπώνεται και ως εξής: Δίνεται τετράγωνο AMIN

(όπως στο συνημμένο σχήμα).
Μία ευθεία διέρχεται από την κορυφή

και τέμνει τις πλευρές

και

στα σημεία

,

αντίστοιχα.
Να βρεθεί σε ποια θέση της ευθείας το γινόμενο AP.AQ

γίνεται ελάχιστο.

ΛΥΣΗ: Ονομάζουμε

το μήκος της πλευράς του τετραγώνου, x= NP

,

.
Από την ομοιότητα των τριγώνων PNI

και

προκύπτει η σχέση $y= \frac{a^{2}}{x}$ (1).
Μας ενδιαφέρει η ελαχιστοποίηση του γινομένου $(a+x)(a+y) = (a +x)(a + \frac{a^{2}}{x})$ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = (a +x)(a + \frac{a^{2}}{x})$ με x > 0

και με τη βοήθεια του πρόσημου της παραγώγου συνάρτησης προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή της αρχικής είναι για x = a.
Η ελάχιστη τιμή είναι η 4a^2

και η θέση της ζητούμενης ευθείας είναι κάθετη στη διαγώνιο

του τετραγώνου.

Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #8

Καλημέρα

Επειδή οι Μαθηματικές γενικεύσεις είναι στα Μαθηματικά ζητούμενο, με σκοπό να διαμορφώνονται ευρύτερες «πλατφόρμες» ένταξης των Μαθηματικών προβλημάτων ώστε να έχουμε την δημιουργία Μαθηματικής μεθοδικής σκέψης (καμία σχέση με αυτό που ονομάζεται «τυφλοσούρτης») ας δούμε και την εξής γενική περίπτωση:

Η δεδομένη γωνία $\angle xAy$ είναι τυχούσα γωνία με την ιδιότητα $0 < \angle xAy < \pi$ και το δεδομένο σταθερό σημείο στο εσωτερικό της είναι ένα σημείο έστω

, τότε παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{i}{{AQ}} = \frac{{IP}}{{PQ}},\;\;\frac{j}{{AP}} = \frac{{QI}} {{PQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} \frac{i}{{AQ}} + \frac{j}{{AP}} = 1,\quad ct.}$ ,
οπότε το ελάχιστο του γινομένου $AP \cdot AQ$ παρουσιάζεται όταν το γινόμενο $\displaystyle{\frac{1}{{AP}} \cdot \frac{1}{{AQ}}}$ γίνει μέγιστο, δηλαδή αρκεί το γινόμενο $\displaystyle{\frac{j}{{AP}} \cdot \frac{i}{{AQ}}}$ να γίνει μέγιστο, καθότι οι ποσότητες i,j

είναι σταθερές. Τούτο επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{\frac{j}{{AP}} = \frac{i}{{AQ}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow AP = 2j\;\kappa \alpha \iota \;AQ = 2i.}$

KARKAR · #9

: Γινόμενο.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Και στη γενίκευση μπορούμε και έτσι : $\displaystyle \frac{t-b}{a}=\frac{b}{s-a}\Leftrightarrow st=at+bs\geq 2\sqrt{abts}$ ,

οπότε τετραγωνίζοντας : $st\geq4ab$ , με την ισότητα να ισχύει για s=2a , t=2b

S.E.Louridas · #10

Ακριβώς Θανάση καθότι θα μπορούσαμε να έχουμε σαν βάση την εξής ισοδυναμία:

$\displaystyle{\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = 1 \Leftrightarrow at + bs = st...}$

Ελάχιστο Γινομένου

Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Re: Ελάχιστο Γινομένου

Μέλη σε σύνδεση