Συνδρομή

[KARKAR]

Συνδρομή.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 2787 φορές

Το είναι ορθογώνιο , ενώ τα είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες συντρέχουν το κοινό τους σημείο .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Συνδρομή.pngΤο είναι ορθογώνιο , ενώ τα είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες συντρέχουν το κοινό τους σημείο .

Καλημέρα

Έστω

Είναι



Τέλος έχουμε

Άρα συντρέχουν ( ορθόκεντρο του )

[george visvikis]

Εκτός φακέλου.

Vecten.II..png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 2754 φορές

Απ' το θεώρημα του οι τέμνονται πάνω στο ύψος του τριγώνου το οποίο

αποδεικνύεται ότι διέρχεται από το (αφού από το ίδιο θεώρημα διέρχεται από το μέσο του ).

[george visvikis]

Γενίκευση για πλάγιο παραλληλόγραμμο

Γενίκευση V.png (53.95 KiB) Προβλήθηκε 2746 φορές

[Doloros]

Παρεμφερής λύση με του νεαρού Φωτιάδη,

Αν το σημείο τομής των τότε:

1. Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο

2.

Συνδρομή.png (18.81 KiB) Προβλήθηκε 2718 φορές

Δηλαδή το σημείο τομής των είναι ορθόκεντρο του τριγώνου

οπότε αναγκαστικά η θα διέρχεται απ’ αυτό .

[angvl]

Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.

[Doloros]

Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.

Συνήθως μπορούμε να γράφουμε τη λύση μας αναφέροντας ότι είναι εκτός φακέλου .

[angvl]

Καλησπέρα. Να ρωτήσω επειδή δεν έχω ιδέα για το ποια είναι η επιτρεπτή ύλη για αυτόν τον φάκελο.Η αναλυτική γεωμετρία είναι επιτρεπτή; Για παράδειγμα αυτή η άσκηση νομίζω λύνεται πολύ εύκολα με συντεταγμένες διανύσματος και εσωτερικό γινόμενο. Υποθέτω πως δεν επιτρέπεται αλλά ας το σιγουρέψω.

Συνήθως μπορούμε να γράφουμε τη λύση μας αναφέροντας ότι είναι εκτός φακέλου .

Ευχαριστώ πολύ!

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Συνδρομή.pngΤο είναι ορθογώνιο , ενώ τα είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες συντρέχουν το κοινό τους σημείο .

Έστω , , ,, ,

Ισχύει,

Άρα, ορθόκεντρο του .

Με CEVA έχουμε

Έτσι, συνευθειακά και το ζητούμενο αποδείχτηκε

Συνδρομή.png (29.54 KiB) Προβλήθηκε 2644 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Το είναι ορθογώνιο , ενώ τα είναι τετράγωνα .

Δείξτε ότι οι ευθείες συντρέχουν το κοινό τους σημείο .

Αξίζουν μερικά ιστορικά σχόλια για το συγκεκριμένο θεώρημα, το οποίο ήταν γνωστό (και μάλιστα σε γενικότερη μορφή) στον Ήρωνα τον Αλεξανδρέα την αρχαιότητα.

Τα παρακάτω είναι παρμένα (αλλά πάρα πολύ περιληπτικά) από ομιλία με τίτλο "Ξεχαμένα θεωρήματα από τα αρχαία ελληνική Γεωμετρία" που έκανα πέρσι το καλοκαίρι στο διήμερο Γεωμετρίας στο Ηράκλειο και επανέλαβα τον Ιούνιο φέτος στην Αθήνα ως προσκεκλημένος της ΕΠΕΔΙΜ.

Με λίγα λόγια, το (γενικότερο) θεώρημα υπάρχει στο χαμένο σήμερα έργο του Ήρωνα με τίτλο "Υπόμνημα στα Στοιχεία του Ευκλείδη". Αν και το έργο είναι κυρίως χαμένο, σώζεται ένα πολύ μικρό τμήμα του, όπου και το συγκεκριμένο θεώρημα, από τον Άραβα γεωμέτρη του 11ο αιώνα, An-Nayrizi (γνωστότερου στην Δύση ως Anaritius), στο δικό του "Υπόμνημα στα Στοιχεία του Ευκλείδη". Από εκεί το πήρε ο Albertus Magnus (1193-1280) ο οποίος το συμπεριέλαβε, στα λατινικά, στο ένα και μοναδικό χειρόγραφο των δικών του Σχολίων στα Στοιχεία, το οποίο σώζεται στην Βιέννη.

Ο Ήρων χρησιμοποίησε το θεώρημα αυτό για να αποδείξει το λεγόμενο σήμερα Θεώρημα Vecten, για την περίπτωση του το βασικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Με άλλα λόγια, συμπληρώνει μία ιδιότητα στο στάνταρ σχήμα που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη όπου δίνεται η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος (α' 47).

Η απόδειξη που δίνει ο Ήρων για το παραπάνω θεώρημα, όπως την αναπαράγει ο An-Nayrizi και ο Albertus Magnus, είναι καταπληκτική και ουσιωδώς διαφορετική από τις αποδείξεις που έγραψαν οι έγκριτοι συνάδελφοι παραπάνω. Αν βρω ευκαιρία θα την γράψω εδώ. Υπομονή γιατί αυτό τον καιρό έχω πολύ φόρτο εργασίας. Παρακάτω δίνω το σχήμα (αλλά όχι τα λόγια) της απόδειξής του, το οποίο παραθέτω copy-paste από την εν λόγω ομιλία μου.