Συναρτησιακές Εξισώσεις

Σακης · #101

Λυση για την 49:

Εφαρμοζοντας την αρχικη για y=-f(x)

προκυπτει:
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)

απο οπου προκυπτει οτι η

ειναι συναρτηση επι του

.

Για

:

Για

: $f(f(f(0)))=2f(0)+f(f(f(0))-f(0))\Rightarrow{f(f(0))=2f(0)+f(f(f(0))-f(0))}$ (2)

Για

: $f(f(f(f(0))))=2f(f(0))+f(0)\Rightarrow{f(f(0))+f(0)=0}$ (3)

Για

: $f(f(f(0))+f(0))=2f(0)+f(f(f(0))-f(0))\Rightarrow{f(f(f(0))-f(0))=-f(0)}$ (4)

Η

με βαση την (4)

δινει

Απο

και

εχουμε

.

Τοτε η αρχικη για x=0

δινει

. Επειδη η

ειναι επι του

για

εχουμε

απο οπου προκυπτει οτι η

ειναι

. Τοε η αρχικη γινεται f(f(x)+y)=2x+f(y-x)

Για

δινει $f(f(x))=2x+f(-x)\Rightarrow{f(f(x))-2x=f(-x)}\Rightarrow{f(-x)=-x}\Rightarrow{f(x)=x}$
η οποια επαληθευει την αρχικη.

Dreamkiller · #102

Σακης έγραψε:Λυση για την 49:

Εφαρμοζοντας την αρχικη για προκυπτει:
απο οπου προκυπτει οτι η ειναι συναρτηση επι του .

...

απο οπου προκυπτει οτι η ειναι .

Νομίζω ότι στην πολύ ωραία λύση του Σάκη μπορούμε να δείξουμε το 1-1

και ως εξής:
Έστω $a,b, c \in R$ τέτοια ώστε f(a)=f(b)

και

(η

είναι επί).
Για x=a, y=c

παίρνουμε

Για

παίρνουμε

Άρα

άρα η

είναι

.

#103

51.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοιες ώστε (x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

52.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ , τέτοιες ώστε x^2(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x))

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

#104

Λύση Άσκησης 51

Αν θέσουμε όπου

το

παίρνουμε: $(x-1)\left[f(x)-f(-1)\right]=(x+1)f(x-1), \ \forall x\in\mathbb{R} \ \ (1)$ .

Αν θέσουμε στην αρχική όπου

το

και όπου

το

παίρνουμε $x\left[f(x-1)-f(1)\right]=(x-2)f(x), \ \forall x\in\mathbb{R} \ \ (2)$ .

Από τη (2)

αν θέσουμε όπου

το

παίρνουμε: f(0)=0

Αν $x\neq 0$ , τότε λύνοντας το σύστημα των (1), (2)

παίρνουμε $f(x)=\displaystyle\frac{x(x+1)f(1)+x(x-1)f(-1)}{2}, \ \forall x\in\mathbb{R}^{\star}$ και f(0)=0

άρα τελικά $\boxed{f(x)=\displaystyle\frac{x(x+1)f(1)+x(x-1)f(-1)}{2}, \ \forall x\in\mathbb{R}}$ η οποία επαληθεύει την αρχική.

Αλέξανδρος

EDIT: Έκανα μία διόρθωση! Ευχαριστώ τον userresu που μου την επισήμανε!

userresu · #105

52:

Για y=1: x^2(f(x)+f(1))=(x+1)f(f(x))

(1)
Για x=1: f(x)+f(1)=(x+1)f(xf(1))

(2)
Για x=y=1: 2f(1)=2f(f(1))

, δηλαδή

(3)
Αντικαθιστώντας το πρώτο μέλος της (2) στην (1) έχω x^2f(xf(1))=f(f(x))

, η οποία για x=f(1) δίνει f^2(1)f(f^2(1))=f(f(f(1)))

και λόγω της (3) $f^2(1)f(f^2(1))=f(1) \Leftrightarrow f(f^2(1))=\frac{1}{f(1)}$ (4)
Η (2) για x=f(1) δίνει 2f(1)=(f(1)+1)f(f^2(1))

η οποία λόγω της (4) γίνεται 2f^2(1)-f(1)-1=0

, της οποίας η θετική ρίζα είναι η f(1)=1.
Έτσι η (2) γίνεται $f(x)+1=(x+1)f(x) \Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ , η οποία επαληθεύει την αρχική.

#106

53.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ , τέτοιες ώστε $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz}) = f(x+y+z)$ ,
για όλα τα $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ , τέτοια ώστε $x+y\ge z$ .

54.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ , τέτοιες ώστε f(x-y+z) = f(x)+f(y)+f(z)-xy-yz+zx

, για κάθε x>y>z>0

.

Edit: Στην 53 το $\mathbb{R}^+$ έγινε $\mathbb{R}_{\geq 0}$ .

userresu · #107

54.
Για $y=\frac{x+z}{2}$ : $f(y)=f(x)+f(y)+f(z)-x\frac{x+z}{2}-z\frac{x+z}{2}+xz \Leftrightarrow f(x)+f(z)=\frac{x^2+z^2}{2}$ , x>z>0

Επίσης η δοθείσα σχέση γίνεται
2f(x-y+z)=2f(x)+2f(y)+2f(z)-2xy-2yz+2xz=

$\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{x^2+z^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2}-2xy-2yz+2xz=$ x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2xz=(x-y+z)^2

. Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής έχω την $f(x)=\frac{x^2}{2}$ , x>0, η οποία επαληθεύει την αρχική.

erxmer · #108

55
Δίνεται το σύνολο S = {0, 1, 2, 3, …} των μη αρνητικών ακεραίων. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f ορισμένες στο S που λαμβάνουν τιμές στο S ώστε
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) για όλα τα m, n στο S

#109

56.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(x)=f(2x)=f(1-x)

για κάθε

.
Να δείξετε ότι είναι περιοδική και να βρείτε παράδειγμα μη σταθερής τέτοιας συνάρτησης.

57.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ και υπάρχει σταθερά

ώστε $f(x)\leq cx$ , για κάθε

.
Να δείξετε ότι $f(x)=cx, \ \forall x$ .
Ισχύει το ίδιο όταν η

ορίζεται στο $[0,+\infty)$ ;

#110

socrates έγραψε: 57.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ και υπάρχει σταθερά ώστε $f(x)\leq cx$ , για κάθε .
Να δείξετε ότι $f(x)=cx, \ \forall x$ .
Ισχύει το ίδιο όταν η ορίζεται στο $[0,+\infty)$ ;

$\bullet f(x+y)\leq f(x)+f(y),\fbox 1\,\,f(x)\leq cx,\fbox 2\,\,f(-x)\leq -cx\rightarrow -f(-x)\geq cx$ $\rightarrow f(-x)\leq -cx$

$\bullet x=y=0,\fbox 1,\fbox 2 \rightarrow f(0)=0$

$\bullet y=-x,\fbox 1 \rightarrow f(x)+f(-x)\geq 0$

$\bullet$ αλλά: $f(x)\leq cx \quad \kappa\alpha\iota \quad f(-x)\leq -cx \quad \rightarrow f(x)+f(-x)\leq 0$

$\bullet$ άρα : $f(x)+f(-x)=0\rightarrow f(x)=-f(-x)\geq cx$

$\bullet$ επομένως : $f(x)=cx,x\in \mathbb R$
-------------------------
για το άλλο σκέφτηκα την $f(x)=\eta\mu x$ ...

erxmer · #111

58)
Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις, συνεχείς στο 0 που ικανοποιούν την σχέση $f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2, a \in (0,1)$

Σακης · #112

56.

: Για

παίρνουμε, f(2x)=f(1-2x)

.
Άρα με βάση την αρχική f(1-x)=f(1-2x)

.
Για

,

.

Στην αρχική για $\displaystyle{x=x+\frac{1}{2}}$ , προκύπτει $\displaystyle{f(x+\frac{1}{2})=f(2x+1)}$ . (ii)

Από

έχουμε $\displaystyle{f(x+1)=f(x+\frac{1}{2})\Rightarrow{f(x)=f(x-\frac{1}{2})}$ .

#113

$\displaystyle{f(x)-2f(ax)+f(a^2x)=x^2}$
$\displaystyle{f(ax)-2f(a^2x)+f(a^3x)=a^2x^2}$
$\displaystyle{f(a^2x)-2f(a^3x)+f(a^4x)=a^4x^2}$
$\displaystyle{f(a^3x)-2f(a^4x)+f(a^5x)=a^6x^2}$
...
$\displaystyle{f(a^{n-1}x)-2f(a^nx)+f(a^{n+1}x)=a^{2n-2}x^2}$

Προσθέτοντας

$\displaystyle{f(x)-2f(ax)+f(ax)+f(a^{n}x)-2f(a^nx)+f(a^{n+1}x)=(1+a^2+...+a^{2n-2})x^2}$
$\displaystyle{f(a^{n+1}x)-f(a^{n}x)=\frac{a^{2n-2}-1}{a^2-1}x^2+f(ax)-f(x)}$
εστω $\displaystyle{n\to \infty}$ επειδή f συνεχής στο 0 και 0<α<1

$\displaystyle{0=f(0)-f(0)=\frac{-1}{a^2-1}x^2+f(ax)-f(x)}$

$\displaystyle{f(ax)-f(x)=\frac{1}{a^2-1}x^2}$
Συνεχίζοντας με ίδιο τρόπο

$\displaystyle{f(a^{n+1}x)-f(x)=\frac{1}{a^2-1}(1+a^2+...+a^{2n-2})x^2}=\frac{a^{2n-2}-1}{a^2-1}\frac{1}{a^2-1}x^2}$
Πάλι $\displaystyle{n\to \infty$
$\displaystyle{f(0)-f(x)=-(\frac{1}{a^2-1})^2x^2$
αρα f(x)=...

#114

Μιας και ορισμένα θέματα έμειναν αναπάντητα, ας δώσουμε κάποιες παραπομπές για αυτά.

socrates έγραψε:8.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(n)+f(n+1)+f(f(n))=3n+1$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$ .

Μια λύση: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=338042

Σακης έγραψε:Ασκηση 32 (απο Baltic Way)
Βρειτε ολες τις $f:R\rightarrow{R}$ τετοιες ωστε να ισχυει

Eίναι το θέμα 5 του Baltic way 2010.

socrates έγραψε:37.
Να προσδιοριστούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ , τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(x\right)=f\left(\sqrt{2x^2-2x+1}\right) }$ , για κάθε .

Μια λύση: http://www.recreatiimatematice.ro/ (τεύχος 2/2004, σελ. 60).

socrates έγραψε:44.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ και $f(x)\leq e^x-1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Μια λύση: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9#p2197089

socrates έγραψε:53.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ , τέτοιες ώστε $f(x+y-z)+f(2\sqrt{xz})+f(2\sqrt{yz}) = f(x+y+z)$ ,
για όλα τα $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ , τέτοια ώστε $x+y\ge z$ .

Μια λύση: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p1133724

erxmer έγραψε:55.
Δίνεται το σύνολο $S = \{0, 1, 2, 3, ... \}$ των μη αρνητικών ακεραίων.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f ορισμένες στο που λαμβάνουν τιμές στο ώστε
για όλα τα στο .

Είναι το πρόβλημα 3 της ΙΜΟ 1996.

chris · #115

59)

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R^+}\rightarrow\mathbb{R^+}$ που είναι τέτοιες ώστε για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς a,b,c,d

με

να ισχύει:

$\displaystyle \left[f(a)+f(b) \right]\cdot \left[f(c)+f(d) \right]=\left(a+b \right)\left(c+d \right)$

GVlachos · #116

59) Για

παίρνουμε

.
Για $a=b, c=d=\frac{1}{a}$ παίρνουμε $f(a)f(\frac{1}{a})=1$ .
Για $a=\frac{1}{b}, c=d=1$ παίρνουμε $f(a)+f(\frac{1}{a})=a+\frac{1}{a}$ .
Με αντικατάσταση παίρνουμε $f(a)+\frac{1}{f(a)}=a+\frac{1}{a}$ , οπότε για τυχαίο a,f(a)=a

ή $\frac{1}{a}$ .
Έστω τώρα ότι υπάρχουν $x,y\neq 1$ με f(x)=x

και $f(y)=\frac{1}{y}$ .
Τότε για $a=x,b=y,c=\frac{1}{x},d=\frac{1}{y}$ βρίσκουμε $\frac{(xy+1)^2}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}, (xy)^2+1=x^2+y^2, (x^2-1)(y^2-1)=0$ Άτοπο.
Άρα $f(x)\equiv x$ , που είναι δεκτή, ή $f(x)\equiv \frac{1}{x}$ , που είναι επίσης δεκτή.

#117

60.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(3x-y)f(y) = 3f(x)

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=14135)

61.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε f(0)=2

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=14136)

62.
Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε $f(f(n)-2n)=2f(n)+n \ \forall n \in \mathbb{Z}$ ;
(viewtopic.php?f=50&t=14158)

63.
Να βρεθούν όλες οι μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(4x)-f(3x)=2x

για κάθε $x\in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=56&t=13846)

64.
Έστω

ένας πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x)+(f(y))^2=kf(x+y^2)

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?p=68972#p68972, viewtopic.php?p=70597#p70597)

65.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?p=69049#p69049)

66.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(1)=1

και

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?p=71847#p71847)

67.
Να προσδιορίσετε όλες τις $\text{1-1}$ συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}}$ , για κάθε $x\ne y$ .
(viewtopic.php?p=69084#p69084)

68.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z \rightarrow Z$ τέτοιες ώστε f(0)=1

και $f(f(n))=f(f(n+2)+2)=n,\forall n \in Z$
(viewtopic.php?p=69696#p69696)

69.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ με $2xf(y) \le xf(x)+yf(y), \forall x,y \in (0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=61&t=13566)

#118

70.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)f(ax)=e^x, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου $a \in (0,1)$ σταθερή.
(viewtopic.php?f=61&t=4599)

71.
Υπάρχει ακολουθία $\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}$ θετικών ακεραίων τέτοια ώστε $\displaystyle x_{n+1}=x_n+x_{x_{n-1}}, \ \forall n\geq 2$ ;
(viewtopic.php?f=50&t=12754)

72.
Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε f(f(x)) + xf(x) = 1,

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?f=56&t=13923)

73.
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb N^*\to \mathbb N^*$ ,ώστε για κάθε $\quad n >1$ να ισχύει: $f(n)=f\big(f(n-1)\big)+f\big(f(n+1)\big)$ ;
(viewtopic.php?f=50&t=12752)

74.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $2f(n+3)f(n+2)=f(n+1)+f(n)+1, \forall n \in \mathbb{N}$ .
(viewtopic.php?p=14464#p14464)

75.
Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις f(x)

ώστε

για όλα τα x, y

στο

.(8th Irish 1995)
(viewtopic.php?f=50&t=11373)

76.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ που να ικανοποιούν xf(y) + yf(x) = (x+y)f(x+y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{N}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=2666)

socrates έγραψε:20.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y) }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Και εδώ: viewtopic.php?f=50&t=13006

#119

77.
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle f(f(x))=\frac {x}{\sqrt {x^2+1}}$ .
Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x_0)>1

(viewtopic.php?f=56&t=14372)

78.
Έστω συνεχής συνάρτηση $f: [0,1] \to \mathbb{R}_+^*$ με την ιδιότητα για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
και για κάθε $x_1,x_2,...,x_n \in [0,1]$ με x_1+x_2+...+x_n =1

να ισχύει

Να αποδείξετε ότι $f(x)=e^x, \ x \in [0,1].$
(viewtopic.php?f=111&t=14374)

79.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες
α) $\displaystyle{f(x+y) = \frac {f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}, \forall x,y \in \mathbb{R}$
β) $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)=0$ και
γ) $f(1)=\frac {1}{2}$
(viewtopic.php?f=111&t=14495)

80.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=xf(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^*$ και
$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{y}\right)=1+f\left(\frac{1}{x+y}\right)$ , για κάθε $x,y,x+y \in \mathbb{R}^*$ .
(viewtopic.php?f=111&t=14500)

81.
Η συνάρτηση $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν:
1) $xf^{\prime}(x)\geq f(x)$ για κάθε $x\geq 0$
2) f(0)=0

3) $f(x+1)-f(x)=f^{\prime}(0)$ για κάθε $x\geq 0.$

Να βρεθεί ο τύπος της

.
(viewtopic.php?f=111&t=14668)

82.
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 1}$ και $\displaystyle{f(x + y) - f(x - y) \le {y^2} + y}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ . Να βρείτε την f .
(viewtopic.php?f=52&t=14776, viewtopic.php?f=111&t=8408)

83.
Βρείτε ολες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ωστε $f\left(f(x) + y^2\right) = f^2(x) - f(x)f(y) + xy + x$
(viewtopic.php?f=111&t=14770)

84.
Nα προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R^*}$ οι οποίες ικανοποιούν την ισότητα:
$\displaystyle f\left(\frac{f(x)}{f(y)} \right)=\frac{1}{y} \cdot f(f(x)),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R^*}$ και είναι γνησίως μονότονες στo $(0,+\infty).$
(viewtopic.php?f=58&t=6253&start=20, viewtopic.php?p=74761#p74761)

85.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: R\to R$ με την ιδιότητα $f(y^{4}+f(x)-x)) = (f(y))^{4}$ για κάθε x,y πραγματικούς αριθμούς
(viewtopic.php?f=111&t=6245, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=330377)

86.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(2011) = 2011

και $\displaystyle {f(4xy) = 2y\left(f(x + y) + f(x-y)\right),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=14848)

#120

Μερικά ΟΜΟΡΦΑ αποτελέσματα για την 77
1. $\displaystyle{f(f(\frac{1}{\sqrt{n}}))=\frac{1}{\sqrt{n+1}} , n \in N*}$ ΔΙΟΡΘΩΣΗ
2. f επί του (-1, 1)
3. f συνεχής στο (-1,1)
4. $\displaystyle{f(0)=0, x>0 \Rightarrow f(x)>0}$
5. $\displaystyle{f(f(tanx))=sinx, 0<x<\pi /2}$ ΔΙΟΡΘΩΣΗ

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση