mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 14, 2014 10:04 pm**

Καλησπέρα !!!

Ευθύμη, γιατί στο ερώτημα (γ)-σκόπιμα έχει τεθεί- δεν διαιρούμε με το

ενώ στις ισοπληθείς ομάδες διαιρούμε ;

Αυτή τη διαφορά έχω επισημάνει κι εγώ, αλλά δεν την έχω ερμηνεύσει ακόμα.

Μπ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 12:40 am**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Καλησπέρα !!!

Ευθύμη, γιατί στο ερώτημα (γ)-σκόπιμα έχει τεθεί- δεν διαιρούμε με το ενώ στις ισοπληθείς ομάδες διαιρούμε ;

Αυτή τη διαφορά έχω επισημάνει κι εγώ, αλλά δεν την έχω ερμηνεύσει ακόμα.

Μπ.

Μπάμπη καλημέρα!!

Καταρχάς διαιρούμε με το παραγοντικό του αριθμού των ισοπληθών ομάδων όταν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, η διάταξη των ομάδων, αν μας ενδιαφέρει η σειρά, διάταξη, δεν διαιρούμε.
Ο λόγος που διαιρούμε στις ισοπληθείς ομάδες είναι ότι αυτές μετατίθενται όπως ακριβώς συμβαίνει στις κλασσικές μεταθέσεις, π.χ στις

ομάδες των τριών

ατόμων, όταν υπολογίζουμε τους συνδυασμούς, οι 4 ομάδες των 3 ατόμων εμφανίζονται

φορές με διαφορετική διάταξη και αφού δεν μας ενδιαφέρει η σειρά διαιρούμε με το

Ένα παράδειγμα, έχουμε 4 άτομα (A1,A2,A3,A4)

και θέλουμε να τα χωρίσουμε ομάδες των δύο ατόμων C(4,2)=6

(A1,A2), (Α3,Α4)
(A1,A3), (Α2,Α4)
(A1,A4), (Α2,Α3
(A2,A3), (Α1,Α4
(A2,A4), (Α1,Α3)
(A3,A4), (Α1,Α2)
Παρατηρούμε ότι όλες οι διαμερίσεις εμφανίζονται δύο φορές (2!)

οι ίδιες με διαφορετική σειρά βέβαια, αλλά αυτό δεν μας ενδιαφέρει. Αν κάνουμε παράδειγμα με

άτομα,

ομάδες των

ατόμων

θα δούμε ότι

διαμερίσεις σε ομάδες των τριών εμφανίζοντα

φορές η κάθε μία με διαφορετική σειρά
{A},{B},{C}

Αντίθετα συμβαίνει όταν έχουμε ομάδες διαφορετικού πλήθους π.χ

άτομα να τα χωρίσουμε σε ομάδες των

και των

ατόμων,

. Στην πρώτη στήλη-ομάδα τοποθετούμε τρία άτομα και στην δεύτερη τα εκάστοτε άλλα δύο. Τα τρία άτομα της πρώτης στήλης-ομάδας δεν χωράνε στην δεύτερη, μόνο ανά δύο θα βρεθούν στην δεύτερη ομάδα-στήλη και τα δύο της δεύτερης, όταν βρίσκονται στην πρώτη στήλη-ομάδα, αναγκαστικά “δανείζοντε” και ένα τρίτο. Έτσι δεν παρουσιάζεται καμία όμοια μετάθεση, γιαυτό και δεν διαιρούμε.
(A1,A2,A3),(A4,A5)

Παρατηρούμε ότι παρουσιάζονται

διαφορετικοί τρόποι διαμέρισης ακριβώς όσο και το C(5,3)*C(2,2)=10

Έτσι και στο συγκεκριμένο ερώτημα με τις ομάδες των

, των

και των

. Δύο άτομα της πρώτης ομάδας, μεταφερόμενα στην ομάδα των

ή των

ατόμων θα συνομαδοποιηθούν μα άλλα

ή

αντίστοιχα,.

άτομα της

ης ομάδας δεν μπορούν να βρεθούν μαζί στην ομάδα των

και στην ομάδα των έξι ατόμων θα συνομαδοποιηθούν με άλλα δύο άτομα, αποτέλεσμα όλες οι 13860

διαμερίσεις είναι διαφορετικές!
Ώρα για ύπνο!

Υ.Γ Μπάμπη, ελπίζω να βοήθησα στην κατανόηση της διαφοράς και αν κάπου γράφω περισσότερα από όσο χρειαζόταν, είναι γιατί είχα κατά νου και τους μαθητές που τυχόν θα το διαβάσουν.

Φιλικά και με εκτίμηση
Ευθύμης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 10:58 am**

Διαγραφή λόγω λαθών στην επίλυση

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 12:45 pm**

ealexiou έγραψε:.............................

Υ.Γ Μπάμπη, ελπίζω να βοήθησα στην κατανόηση της διαφοράς και αν κάπου γράφω περισσότερα από όσο χρειαζόταν, είναι γιατί είχα κατά νου και τους μαθητές που τυχόν θα το διαβάσουν.

Φιλικά και με εκτίμηση
Ευθύμης

Ευθύμη, η εξήγησή σου είναι η πιο ενδεδειγμένη !!!

Κάπως έτσι την σκεφτόμουνα όταν έθετα το ερώτημα με τις μη ισοπληθείς , αλλά δεν ήμουν σίγουρος.Είχα εντοπίσει τη διαφορά με ένα μικρό παράδειγμα, οπότε το έθεσα για συζήτηση και με τους εξαίρετους φίλους του forum.
Έχω υπόψιν έναν γενικό τύπο που δίνει τον χωρισμό συνόλου σε ομάδες και αυτόν χρησιμοποιώ, αλλά περίμενα ότι και στις μη ισοπληθείς ομάδες θα εμφανίζονται οι μεταθέσεις τους στον παρονομαστή , αλλά αυτό τελικά δεν συμβαίνει. Ο τύπος είναι σωστός, διότι στο πλήθος των μη ισοπληθών ομάδων δεν διαιρεί με τις μεταθέσεις τους, παρά με τις μεταθέσεις μόνο των ισοπληθών ομάδων !

Σε ευχαριστώ !!!

(edit : είχα βαφτίσει τον Ευθύμη Κώστα, αλλά που εποχές να δίνω δύο δώρα

)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 1:55 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 33

Δίνεται η λέξη ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ.

(α) Να βρείτε τους αναγραμματισμούς της λέξης αυτής.

(β) Αν επιλεγεί στη τύχη ένας από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α:"Ο αναγραμματισμός να περιέχει τα τρία Α συνεχόμενα"
B:"Ο αναγραμματισμός να περιέχει τα τρία Α συνεχόμενα και τα δύο Τ σε μη διαδοχικές θέσεις"

(γ) Να βρείτε πόσες λέξεις μπορούν να σχηματιστούν, χρησιμοποιώντας τέσσερα από τα γράμματα της λέξης ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ.

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2014)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 2:01 pm**

Άσκηση 34

Έξι παντρεμένα ζευγάρια βρίσκονται σε μια αίθουσα. Επιλέγουμε τυχαία τέσσερα άτομα από αυτά. Να βρεθεί:

(α) η πιθανότητα να επιλεγούν παντρεμένα ζευγάρια μόνο
(β) η πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα παντρεμένο ζευγάρι
(γ) η πιθανότητα να επιλεγεί ένα μόνο παντρεμένο ζευγάρι

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2013)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 3:23 pm**

Soteris έγραψε:Άσκηση 34

Έξι παντρεμένα ζευγάρια βρίσκονται σε μια αίθουσα. Επιλέγουμε τυχαία τέσσερα άτομα από αυτά. Να βρεθεί:

(α) η πιθανότητα να επιλεγούν παντρεμένα ζευγάρια μόνο
(β) η πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα παντρεμένο ζευγάρι
(γ) η πιθανότητα να επιλεγεί ένα μόνο παντρεμένο ζευγάρι

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2013)

(α) Αν

το ενδεχόμενο να επιλεγούν

ζευγάρια, "παντρεμένα ζευγάρια μόνο", τότε θεωρώντας το κάθε ζευγάρι ως ένα "άτομο" και το ενδεχόμενο γίνεται να επιλεγούν

"άτομα" από

"άτομα", άρα $N(A)={\begin{pmatrix}6 \\2\end{pmatrix}}$ και άρα $P(A)=\frac{\begin{pmatrix}6 \\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}=\dfrac{15}{495}=\dfrac{1}{33}$

(β) Αν

το ενδεχόμενο να μην επιλεγεί ζευγάρι τότε τα

άτομα πρέπει να επιλεγούν από

άτομα, από

και πάνω θα υπάρχει πιθανότητα ενός τουλάχιστον ζευγαριού και η επιλογή των

ατόμων μπορεί να γίνει με

τρόπους για το καθένα (Α-Γ).
Άρα $P(B)=\frac{\begin{pmatrix}6 \\4\end{pmatrix} \times 2^{4}}{\begin{pmatrix}12\\4\end{pmatrix}}= \dfrac{240}{495}=\dfrac{16}{33}$

(γ) Όλα τα ενδεχόμενα επιλογής είναι ένα (1)

ζευγάρι, δύο (2)

ζευγάρια και κανένα (0)

ζευγάρι.
Αν

το ενδεχόμενο να επιλεγεί

ζευγάρι τότε $P(C)=1-P(A)-P(B)=1- \dfrac{1}{33}-\dfrac{16}{33}=$ $\dfrac{16}{33}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 15, 2014 8:28 pm**

Soteris έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33

Δίνεται η λέξη ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ.

(α) Να βρείτε τους αναγραμματισμούς της λέξης αυτής.

(β) Αν επιλεγεί στη τύχη ένας από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α:"Ο αναγραμματισμός να περιέχει τα τρία Α συνεχόμενα"
B:"Ο αναγραμματισμός να περιέχει τα τρία Α συνεχόμενα και τα δύο Τ σε μη διαδοχικές θέσεις"

(γ) Να βρείτε πόσες λέξεις μπορούν να σχηματιστούν, χρησιμοποιώντας τέσσερα από τα γράμματα της λέξης ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ.

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2014)

Για το (α)

γράμματα,

και

διαφορετικά.
Το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης είναι $N( \Omega )=\dfrac{10!}{3!2!}=302400$

Για το (β)
Για το ενδεχόμενο

Τρία συνεχόμενα

. Τα τρία συνεχόμενα

ισοδυναμούν με ένα γράμμα, άρα σαν να έχουμε λέξη

γραμμάτων με

, Άρα $N(A)=\dfrac{8!}{2!}=20160$ .
Άρα $P(A)=\dfrac{20160}{302400 }= \dfrac{1}{15}$

Για το ενδεχόμενο

Τρία συνεχόμενα

και τα δύο

σε μη διαδοχικές θέσεις.
Το πλήθος των ευνοϊκών ενδεχομένων ισούται με το πλήθος των ενδεχομένων τρία

σε διαδοχικές θέσεις και τα δύο

χωρίς περιορισμό, ήτοι 20160

, μείον το πλήθος των ενδεχομένων τρία

συνεχόμενα και τα δύο

επίσης συνεχόμενα, ήτοι 7!=5040

, άρα

(Υπάρχει τύπος-μέθοδος που δίνει κατευθείαν το N(B)

, αλλά δεν τον θυμάμαι).
Άρα $P(B)=\dfrac{15120}{302400 }= \dfrac{1}{20}$

Για το (γ)
Εξετάζουμε όλες τις περιπτώσεις τυχαίας επιλογής

γραμμάτων από τα

a) Και τα τέσσερα γράμματα διαφορετικά. Η επιλογή γίνεται από

διαφορετικά γράμματα με $\begin{pmatrix}7 \\ 4 \end{pmatrix}$ διαφορετικούς τρόπους και για την κάθε επιλογή σχηματίσουμε

λέξεις και συνολικά $\begin{pmatrix}7 \\ 4 \end{pmatrix}4!=840$ λέξεις
b)

και ένα διαφορετικό γράμμα. Η επιλογή γίνεται με $1 \times \begin{pmatrix}6\\ 1 \end{pmatrix}$ διαφορετικούς τρόπους και για την κάθε επιλογή σχηματίζουμε $\dfrac{4!}{3!}$ λέξεις και συνολικά σχηματίζουμε $1 \times \begin{pmatrix}6\\ 1 \end{pmatrix} \dfrac{4!}{3!}=24$ λέξεις
c)

και

διαφορετικά γράμματα. Συνολικά σχηματίζουμε $\begin{pmatrix}6\\ 2 \end{pmatrix}\dfrac{4!}{2!} =180$ λέξεις.
d)

και

διαφορετικά γράμματα. Ομοίως $\begin{pmatrix}6\\ 2 \end{pmatrix}\dfrac{4!}{2!} =180$ λέξεις.
e)

και

. Σχηματίζουμε $\dfrac{4!}{2! \times 2!} =6$ λέξεις.

Σύνολο λέξεων: 840+24+180+180+6=1230

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 8:47 am**

Άσκηση 35

Ένα δοχείο A_1

περιέχει

λαχνούς με αριθμούς 1, 2, ..., 40

. Παίρνουμε τυχαία

λαχνούς από το A_1

και τους τοποθετούμε στο κενό δοχείο A_2

. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

A:"το A_2

περιέχει το λαχνό με τον αριθμό

"
Β:"το

περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό"
Γ:"το A_2

περιέχει

λαχνούς με άρτιο αριθμό και

λαχνούς με περιττό αριθμό"

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2010)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 9:04 am**

Soteris έγραψε:Άσκηση 35

Ένα δοχείο περιέχει λαχνούς με αριθμούς . Παίρνουμε τυχαία λαχνούς από το και τους τοποθετούμε στο κενό δοχείο . Να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

A:"το περιέχει το λαχνό με τον αριθμό "
Β:"το περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό"
Γ:"το περιέχει λαχνούς με άρτιο αριθμό και λαχνούς με περιττό αριθμό"

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2010)

Παίρνουμε

από τους

λαχνούς με $\displaystyle \binom{40}{10}$ τρόπους

** A:"το A_2

περιέχει το λαχνό με τον αριθμό

"

οι υπόλοιποι

λαχνοί επιλέγονται από τους

,άρα $P(A)=\dfrac{\binom{39}{9}}{\binom{40}{10}}$

**Β:"το A_2

περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό"

οι

λαχνοί επιλέγονται από τους

άρτιους με $\binom{20}{10}$ τρόπους,άρα $P(B)=\dfrac{\binom{20}{10}}{\binom{40}{10}}$

**Γ:"το A_2

περιέχει

λαχνούς με άρτιο αριθμό και

λαχνούς με περιττό αριθμό"

Για το Γ επιλέγουμε

από τους

άρτιους και

από τους

περιττούς, άρα $P(\Gamma)=\dfrac{\binom{20}{4}\binom{20}{6}}{\binom{40}{10}}$

!! έγινε διόρθωση,ευχαριστώ το Σωτήρη.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 9:23 am**

Φωτεινή έγραψε:
Soteris έγραψε:Άσκηση 35

Ένα δοχείο περιέχει λαχνούς με αριθμούς . Παίρνουμε τυχαία λαχνούς από το και τους τοποθετούμε στο κενό δοχείο . Να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

A:"το περιέχει το λαχνό με τον αριθμό "
Β:"το περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό"
Γ:"το περιέχει λαχνούς με άρτιο αριθμό και λαχνούς με περιττό αριθμό"

(Παγκύπριες Εξετάσεις Μαθηματικών 2010)
Παίρνουμε από τους λαχνούς με $\displaystyle \binom{40}{10}$ τρόπους

** A:"το περιέχει το λαχνό με τον αριθμό "

οι υπόλοιποι λαχνοί επιλέγονται από τους ,άρα $P(A)=\dfrac{\binom{39}{9}}{\binom{40}{10}}$

**Β:"το περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό"

οι λαχνοί επιλέγονται από τους άρτιους με $\binom{20}{10}$ τρόπους,άρα $P(B)=\dfrac{\binom{20}{10}}{\binom{40}{10}}$

**Γ:"το περιέχει λαχνούς με άρτιο αριθμό και λαχνούς με περιττό αριθμό"

επιλέγουμε από τους άρτιους και από τους περιττούς,άρα $P(\Gamma)=\dfrac{\binom{10}{4}\binom{10}{6}}{\binom{40}{10}}$

Μια μικρή διόρθωση

Για το Γ επιλέγουμε

από τους

άρτιους και

από τους

περιττούς, άρα $P(\Gamma)=\dfrac{\binom{20}{4}\binom{20}{6}}{\binom{40}{10}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 9:30 am**

Soteris έγραψε:
Μια μικρή διόρθωση

Για το Γ επιλέγουμε από τους άρτιους και από τους περιττούς, άρα $P(\Gamma)=\dfrac{\binom{20}{4}\binom{20}{6}}{\binom{40}{10}}$

Ναι ,ναι.... απροσεξία...
Σωτήρη ευχαριστώ, θα το διορθώσω τώρα.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 9:55 am**

Άσκηση 36

Ο Α έχει

άσπρες και

μαύρες μπάλες και τις τοποθετεί κατά διάφορους τρόπους σε δύο κάλπες K_1

και

. Στη συνέχεια, ο Β επιλέγει τυχαία μια μπάλα. Αν αυτή είναι άσπρη, τότε κερδίζει ο Β.

(α) Αν ο Α τοποθετήσει

άσπρες μπάλες και

μαύρη μπάλα στην K_1

και

μαύρη μπάλα στην K_2

, να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Β.
(β) Να βρείτε με ποιο τρόπο πρέπει να τοποθετήσει ο Α τις μπάλες στις K_1

και

έτσι ώστε η πιθανότητα να κερδίσει ο Β να είναι η μεγαλύτερη δυνατή. Ποια είναι αυτή η πιθανότητα;

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα-Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα-Μαθηματικά Β', 1996)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 16, 2014 11:27 am**

Soteris έγραψε:Άσκηση 36

Ο Α έχει άσπρες και μαύρες μπάλες και τις τοποθετεί κατά διάφορους τρόπους σε δύο κάλπες και . Στη συνέχεια, ο Β επιλέγει τυχαία μια μπάλα. Αν αυτή είναι άσπρη, τότε κερδίζει ο Β.

(α) Αν ο Α τοποθετήσει άσπρες μπάλες και μαύρη μπάλα στην και μαύρη μπάλα στην , να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Β.
(β) Να βρείτε με ποιο τρόπο πρέπει να τοποθετήσει ο Α τις μπάλες στις και έτσι ώστε η πιθανότητα να κερδίσει ο Β να είναι η μεγαλύτερη δυνατή. Ποια είναι αυτή η πιθανότητα;

(Παγκύπριες Εξετάσεις για τα Ανώτερα-Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα-Μαθηματικά Β', 1996)

(α) $P(A)= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \times 0 =\dfrac{1}{3}$

(β) Η πιθανότητα γίνεται η μεγαλύτερη δυνατή αν στην μία κάλπη τοποθετήσει

και στην άλλη 2M+1A

$P(A)= \dfrac{1}{2} \times 1+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

(γ) Με ποιο τρόπο πρέπει να τοποθετήσει ο

τις μπάλες στις $K_{1}$ και $K_{2}$ κάλπες έτσι ώστε η πιθανότητα να κερδίσει ο

να είναι η μικρότερη δυνατή. Ποια είναι αυτή η πιθανότητα;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 8:54 am**

Άσκηση 37

Στο σχήμα φαίνεται μια διάταξη

Χ

σημείων τα οποία απέχουν

μονάδα το καθένα από τα διπλανά τους. Να βρείτε το πλήθος των μη τετριμμένων τριγώνων (δηλ. τρίγωνα με θετικό εμβαδόν) των οποίων οι κορυφές είναι σημεία αυτής της διάταξης.

(Μαθηματικό Βήμα 2012)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 9:28 am**

Άσκηση 38

Πάνω σ' ένα τραπέζι υπάρχουν

επιστολές οι οποίες απευθύνονται σε

διαφορετικά πρόσωπα και οι αντίστοιχοι φάκελοι με τις διευθύνσεις των

προσώπων. Αν σε κάθε φάκελο τοποθετήσουμε μια επιστολή τυχαία, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

A:"Μόνο

από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"
Β:"Τουλάχιστον

από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"

(Παγκύπριες Ενιαίες Απολυτήριες Εξετάσεις Γ' Λυκείου, 1999)

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 11:08 am**

Soteris έγραψε:Άσκηση 38

Πάνω σ' ένα τραπέζι υπάρχουν επιστολές οι οποίες απευθύνονται σε διαφορετικά πρόσωπα και οι αντίστοιχοι φάκελοι με τις διευθύνσεις των προσώπων. Αν σε κάθε φάκελο τοποθετήσουμε μια επιστολή τυχαία, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

A:"Μόνο από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"
Β:"Τουλάχιστον από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"

(Παγκύπριες Ενιαίες Απολυτήριες Εξετάσεις Γ' Λυκείου, 1999)

Οι επιστολές μπαίνουν στους φακέλους με 5!=120

τρόπους
---
A:"Μόνο

από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"

επιστολές μπαίνουν στο σωστό φάκελο με $\binom{5}{2}=10$ τρόπους και οι άλλες

μπαίνουν με

τρόπους σε λάθος φάκελο

άρα $P(A)=\dfrac{20}{120}=\dfrac{1}{6}$
---
Β:"Τουλάχιστον

από τις επιστολές να μπουν στο δικό τους φάκελο"

επιστολές στο σωστό φάκελο έχουν $\binom{5}{3}=10$ τρόπους

επιστολές στο σωστό φάκελο έχουν

τρόπο

επιστολές στο σωστό φάκελο ,σημαίνει ότι και η 5η μπαίνει σωστά.

άρα $P(B)=\dfrac{11}{120}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 6:46 pm**

Άσκηση 39
Μια παρέα από

φίλους ασχολούνται κάθε Κυριακή με το άθλημα της ξιφασκίας. Η πιθανότητα να τραυματιστεί ένα άτομο κάθε φορά είναι $\displaystyle{\frac{1}{5}}$ (όσοι τραυματίζονται σταματούν και αποσύρονται από αυτό τον αγώνα. Ο τραυματισμός ενός ατόμου είναι ανεξάρτητος από τον τραυματισμό άλλων ατόμων). Ποια είναι η πιθανότητα να αποσυρθούν όλα τα άτομα σε λιγότερες από n +1

Κυριακές; Κάνε εφαρμογή για m = 3, n = 4.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 6:51 pm**

Άσκηση 40
Τέσσερις φίλοι, οι Α, Β, Γ, Δ, είχαν ένα απόγευμα ελεύθερο και είχε ο καθένας να κάνει μία από τις 5 επιλογές: κινηματογράφο, προπόνηση, καφετέρια, ανάβαση στο βουνό, διάβασμα. Και οι πέντε επιλογές είναι το ίδιο ενδιαφέρουσες για τους 4 φίλους και ο καθένας κάνει τυχαία μία επιλογή. Ποια η πιθανότητα:
α) Μόνο οι Α και Β να πάνε για προπόνηση.
β) Οι 3 τουλάχιστον από τους 4 να πάνε κινηματογράφο.
γ) Τουλάχιστον ένας να πάει καφετέρια και τουλάχιστον δύο να πάνε κινηματογράφο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 17, 2014 7:41 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 41

Πρόβλημα Πιθανοτήτων(στα Γερμανικά πρότυπα εξετάσεων !

Ένας τροχός(ρόδα) της τύχης είναι χωρισμένος σε 40 ίσους κυκλικούς τομείς και σε καθέναν από αυτούς αναγράφεται ακριβώς ένας από τους αριθμούς 0 , 1 , 2 , 3. Η συχνότητα των αριθμών αυτών φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

: stochastik.PNG (6.29 KiB) Προβλήθηκε 3115 φορές

Η ρόδα γυρίζει και σταματάει τυχαία, ενώ το βέλος δείχνει κάποιον από τους αριθμούς που είναι χαραγμένοι στους τομείς. Σημειώνουμε τον αριθμό αυτό.

1.1 Το παραπάνω πείραμα επαναλαμβάνεται 4 φορές. Να βρεθεί η πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων :

A: Οι αριθμοί 0 , 1 , 2 , 3

εμφανίζονται με αυτή ακριβώς τη σειρά στις τέσσερις δοκιμές.

Β: Εμφανίζονται όλοι οι αριθμοί 0 , 1 , 2 , 3

Γ: Το 3 εμφανίζεται τουλάχιστον 2 φορές.

Δ: Το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών που καταγράφονται είναι μεγαλύτερο του 10.

1.2. Ένας διοργανωτής προσφέρει το παρακάτω παιγνίδι :
Ο παίκτης μπορεί να γυρίσει τον τροχό μέχρι τέσσερις φορές .Σκοπός του είναι να πετύχει τον μεγαλύτερο αριθμό. Όταν ο παίκτης θεωρήσει ικανοποιητικό τον αριθμό(ένδειξη) που φέρνει μπορεί να σταματήσει .Αν όμως συνεχίσει, τότε ο προηγούμενος αριθμός διαγράφεται και καταγράφεται ο καινούριος. Ο διοργανωτής παρατήρησε ότι οι παίκτες ακολουθούνε κυρίως την εξής τακτική :

Γύρνα τον τροχό μέχρι να φέρεις τουλάχιστον 2 και σταμάτα !

α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας παίκτης που θα ακολουθήσει αυτή την τακτική να κάνει και την τέταρτη προσπάθεια ;

β) Ποια κατά μέσο όρο τιμή θα επιτύχει ένας παίκτης , αν συνεχίσει να παίζει με αυτή την στρατηγική ;

γ) Σε κάθε παιγνίδι ο παίκτης βάζει 3 ευρώ για τη συμμετοχή και κερδίζει διπλάσια χρήματα από όσα αναγράφει η τελευταία ένδειξη που καταγράφεται μέσα στις 4 το πολύ δοκιμές που περιγράφηκαν παραπάνω.

Ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος ή η αναμενόμενη ζημιά για τον παίκτη σε αυτό το παιγνίδι ;

(Το τελευταίο ερώτημα προσπαθώ να το διαμορφώσω, ώστε να γίνει πιο περιεκτικό και σε αυτό θα ήθελα την συμβολή σας)

mathematica.gr

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !

Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !